Uma das raízes da equação 7 x2−mx+n=0 é 1. Nessas condições, qual é o valor de m−n? A) 7 B) 6 C) -6 D) 3 E) -3

Para resolver essa questão, podemos utilizar as propriedades das raízes de uma equação do segundo grau. Sabemos que uma das raízes da equação \(7x^2 - mx + n = 0\) é 1. Isso significa que quando x = 1, a equação é satisfeita. Substituindo x = 1 na equação, temos: \(7(1)^2 - m(1) + n = 0\) \(7 - m + n = 0\) Dado que uma das raízes é 1, podemos afirmar que a equação fatorada é da forma \(7(x - 1)(x - k) = 0\), onde k é a outra raiz. Como a equação é do segundo grau, a soma das raízes é dada por \(\frac{-b}{a}\), onde b é o coeficiente de x e a é o coeficiente de x^2. Neste caso, a soma das raízes é 1 + k = \(\frac{-(-m)}{7}\) = \(\frac{m}{7}\). Portanto, temos que k = \(\frac{m}{7} - 1\). Como k é a outra raiz da equação, podemos dizer que \(7(x - 1)(x - k) = 7(x - 1)(x - \frac{m}{7} + 1) = 7x^2 - mx + n\). Expandindo o lado direito, obtemos: \(7(x^2 - \frac{m}{7}x + x - \frac{m}{7}) = 7(x^2 - \frac{m}{7}x + x - \frac{m}{7}) = 7x^2 - mx + 7x - m = 7x^2 - mx + n\). Comparando os termos semelhantes, temos que n = 7 e 7x = -m. Como n = 7, temos que m - n = -7. Portanto, a alternativa correta é C) -6.