Para encontrar o ponto da reta diagonal \(\Delta = \{(x, x) | x \in \mathbb{R}\}\) mais próximo do ponto \(P = (a, b)\), precisamos minimizar a distância entre \(P\) e um ponto genérico na reta diagonal, que podemos representar como \((x, x)\). A distância \(d\) entre os pontos \(P\) e \((x, x)\) é dada por: \[ d = \sqrt{(x - a)^2 + (x - b)^2} \] Para minimizar essa distância, podemos minimizar o quadrado da distância (para simplificar os cálculos): \[ d^2 = (x - a)^2 + (x - b)^2 \] Expandindo isso, temos: \[ d^2 = (x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 - 2bx + b^2) \] \[ d^2 = 2x^2 - 2(a + b)x + (a^2 + b^2) \] Para encontrar o valor de \(x\) que minimiza \(d^2\), derivamos em relação a \(x\) e igualamos a zero: \[ \frac{d(d^2)}{dx} = 4x - 2(a + b) = 0 \] \[ 4x = 2(a + b) \] \[ x = \frac{a + b}{2} \] Assim, o ponto mais próximo na reta diagonal é: \[ \left(\frac{a + b}{2}, \frac{a + b}{2}\right) \] Analisando as alternativas, a que corresponde a esse resultado é: E) \((\frac{a + b}{2}, \frac{a + b}{2})\) Portanto, a resposta correta é a alternativa E.