Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\)? A) \(-\frac{1}{5}\) B) \(\frac{1}{5}\) C) 0 D) \(\frac{1}{6}\)

Para resolver a integral dada \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\), primeiro é necessário integrar cada termo da função em relação a \(x\). Integrando \(x^4\), obtemos \(\frac{1}{5}x^5\). Integrando \(-2x^3\), obtemos \(-\frac{1}{2}x^4\). Integrando \(x^2\), obtemos \(\frac{1}{3}x^3\). Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de 0 a 1: \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3]_0^1\) Substituindo \(x = 1\) na expressão e subtraindo o resultado de substituir \(x = 0\), obtemos: \((\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (0 - 0 + 0) = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{5} - \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\) Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{30}\), que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas.