Para resolver essa questão, vamos analisar a situação descrita: Temos uma partícula de massa m se movendo em uma dimensão sob a ação de uma força constante \( F = mbx \) e uma força dissipativa \( FR \) cuja magnitude é \( FR = mkv \), onde v é a velocidade da partícula e b e k são constantes positivas. Considerando que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem do sistema de coordenadas, queremos determinar a velocidade \( v(t) \) da partícula em função do tempo. A equação de movimento da partícula é dada por \( F = ma \), onde a é a aceleração da partícula. A força resultante é dada por \( F_{\text{resultante}} = F - FR \). Substituindo as expressões para F e FR, temos: \( F_{\text{resultante}} = mbx - mkv = m \frac{dv}{dt} \) Rearranjando a equação acima, obtemos: \( m \frac{dv}{dt} = mbx - mkv \) \( \frac{dv}{dt} = bx - kv \) \( \frac{dv}{dt} + kv = bx \) Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida utilizando o fator integrante \( e^{\int k dt} = e^{kt} \). Multiplicando toda a equação por \( e^{kt} \), obtemos: \( e^{kt} \frac{dv}{dt} + ke^{kt}v = be^{kt}x \) \( \frac{d}{dt} (e^{kt}v) = be^{kt}x \) Integrando ambos os lados em relação ao tempo, obtemos: \( e^{kt}v = \int be^{kt}x dt \) \( e^{kt}v = b \int xe^{kt} dt \) Resolvendo a integral do lado direito, obtemos: \( e^{kt}v = b \frac{1}{k} xe^{kt} + C \) \( v = \frac{b}{k} x + Ce^{-kt} \) Considerando que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem do sistema de coordenadas, temos que \( v(0) = 0 \), o que implica que C = 0. Portanto, a velocidade \( v(t) \) da partícula em função do tempo é dada por: \( v(t) = \frac{b}{k} x(1 - e^{-kt}) \) Assim, a alternativa correta é: a) \( v(t) = \frac{b}{k} (1 - e^{-kt}) \)