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Prove que as funções f(z) = |z| e g(z) = z não são analíticas em nenhum ponto do seu domínio.

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Matematicamente

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AMII AComplexa 2011
94 pág.

AMII AComplexa 2011

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Para provar que as funções f(z) = |z| e g(z) = z não são analíticas em nenhum ponto do seu domínio, podemos utilizar o critério das equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser analítica em um ponto, ela deve satisfazer as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. No entanto, as funções f(z) = |z| e g(z) = z não satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do seu domínio, o que implica que não são analíticas em nenhum ponto.

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Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:

(a) f(z) = z/(z + 3i)
(b) f(z) = 1/(z^2 + 2)
(c) f(z) = x/(x^2 + y^2) + ixy
(d) f(z) = ln(x) + (x - 2y)i

Seja z = x+ yi. Dado que Re(z + 1) = 4⇔ Re(x− yi+ 1) = 4⇔ x+ 1 = 4⇔ x = 3, a condição Re(z + 1) = 4 representa o conjunto dos pontos do plano complexo na reta vertical de equação x = 3.

Considere a função f(z) = x2 − y2i. Determine os pontos onde f é diferenciável e mostre que f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio. Determine ainda a expressão da derivada nos pontos em que ela existe.

Determine os subconjuntos do plano complexo onde as seguintes funções são analíticas e calcule as suas derivadas:
(a) f(z) = x3 − i(1− y)3;
(b) f(z) = z − z;
(c) f(z) = ey(cosx+ i sinx);
(d) f(z) = x2 + y2i.

As equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que 2x = 2y, ou seja, na reta de equação y = x. Como as funções u, v, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x e ∂v/∂y são contínuas em todos os pontos, pelo teorema de Cauchy-Riemann, f é diferenciável nos pontos da reta y = x. A derivada de f nos pontos da reta y = x é dada por f'(z) = 2x + 0i = 2x = 2y. No entanto, dado qualquer ponto desta reta, não existe uma vizinhança desse ponto na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Concluímos então que f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C.

À função f(z) = |z| corresponde u(x, y) = √(x² + y²) e v(x, y) = 0. Temos ∂u/∂x = x/√(x² + y²), ∂v/∂y = 0, ∂u/∂y = y/√(x² + y²) e ∂v/∂x = 0. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que x/√(x² + y²) = 0 e y/√(x² + y²) = 0, ou seja, no ponto (0, 0). Como as funções u e v e as suas derivadas parciais de 1ª ordem são contínuas em todos os pontos, concluímos pelo teorema de Cauchy-Riemann que f é diferenciável no ponto z = 0. A derivada de f neste ponto é dada por f'(0) = √(x)∂(x² + y²) / ∂(x² + y²) (0,0) = √(-y)∂(x² + y²) / ∂(x² + y²) (0,0) = 0. No entanto, não existe uma vizinhança de z = 0 na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C.

Determine os conjuntos nos quais as seguintes funções são harmónicas: (a) u(x, y) = Re(z + 1/z); (b) u(x, y) = −y − 1 / (x^2 + (y + 1)^2).

Encontre, se possível, uma função f inteira tal que Re(f) = x^2 − 3x − y^2.

Resolva, em C, as seguintes equações:

(a) cos z = 10;
(b) cos z = sin z;
(c) sin z = 2;
(d) sinh z = -i;
(e) eiz = -3;
(d) ez + 6e-z = 5.

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