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Explique porque o tamanho de n deve ser no mínimo 2 nesta situação.

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Aprendendo com Desafios

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O tamanho mínimo de n deve ser 2 nesta situação para garantir que haja pelo menos dois elementos para comparação. Caso houvesse apenas um elemento, não seria possível realizar uma comparação, o que é essencial em muitos algoritmos e situações de programação.

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Matrizes Bem, vamos passar para o próximo tipo de objeto que vamos aprender no R. São as matrizes. Como você deve saber, matrizes são objetos numéricos, que possuem elementos com coordenadas (que são simplesmente a linha e a coluna às quais o elemento pertence). Para construir um objeto que seja uma matriz no R, precisamos usar uma função... Adivinha o nome:

3. Calcule a probabilidade desses eventos:
a. Uma variável distribuída como uma Normal (0,1) ser menor que 3
b. Uma variável distribuída como uma Normal com média 35 e DP de 6 ser maior que 42
c. Obter-se 10 sucessos em 10 experimentos em uma Binomial com probabilidade de sucesso de 0.8
d. X < 0.9, sendo que X é uma Normal-padrão
e. X > 6.5 numa distribuição 2 com 2 graus de liberdade

De maneira geral, para uma Normal (0,1), cuja média é zero, essa propriedade pode ser descrita:

c. Obter-se 10 sucessos em 10 experimentos em uma Binomial com probabilidade de sucesso de 0.8
d. X < 0.9, sendo que X é uma Normal-padrão
e. X > 6.5 numa distribuição χ2 com 2 graus de liberdade

Elas não são exatamente iguais porque nós geramos a normal ao fazer o gráfico, mas a idéia é a mesma. Para ser normal, a curva deveria ser uma reta diagonal.

Para uma distribuição Normal, calcule a massa de probabilidade contida no intervalo interquartilar e também entre os limites superior e inferior de um boxplot (corresponderia à probabilidade de um ponto não ser um outlier.) Exemplifique com um gráfico.

Exercícios
3. Explique com as suas palavras o que o código abaixo faz:
par(mfrow=c(1,3))
hist(notas, freq=F, breaks=seq(4,10), ylim=c(0,0.8))
curve(dnorm(x,7.01,1.111006), from=4, to=10, add=T)
hist(medias.2, freq=F, breaks=seq(4,10), ylim=c(0,0.8))
curve(dnorm(x,7.01,sqrt(1.111006/2)), from=4, to=10, add=T)
hist(medias.3, freq=F, breaks=seq(4,10), ylim=c(0,0.8))
curve(dnorm(x,7.01,sqrt(1.111006/3)), from=4, to=10, add=T)
par(mfrow=c(1,1))
Nota: Não é para explicar o código, mas apenas o que ele faz, interpretar a sua saída. Dica: nós conhecemos a variância da população nesse caso?

Quantos ICs 95% calculados para as amostras de tamanho 3 das notas dos alunos de fato continham a verdadeira média, no caso da variância conhecida? Mostre um gráfico para ilustrar.

O que é solicitado pelos advogados de defesa e imediatamente indeferido pelo juiz?

A inclusão da variância da população.
A exclusão da variância da amostra.
A alteração do valor da média amostral.

Confere? Entendeu o que está acontecendo? Aquela curva da hipótese alternativa está se movendo no eixo x, produzindo diferentes áreas, com nessas curvas abaixo, construídas para hopóteses alternativas variando de 101 a 117 com um incremento de 2: Reparou como a área aumenta à medida que a hipótese alternativa se afasta da hipótese nula? Agora, uma coisa que pode estar estranha é que apesar de estarmos lidando com um teste bilateral, nós só tratamos de poder para um dos lados. Nesse caso nós escolhemos valores maiores que o valor para a hipótese nula. Na verdade, uma vez que estabelecemos os valores, não faz diferença se o valor foi menor ou maior. Com o uso da equação, que leva em conta valores absolutos, não importa a direção, que o valor do poder será o mesmo. Visualmente fica mais fácil fazer para um dos lados só. Note que isso não funcionaria para o meu raciocínio intuitivo, e a equação teria que ser modificada um pouco para o cálculo do poder para valores menores que 100. Agora que já vimos que quanto mais distante do valor da hipótese nula maior o poder, vamos ver o que acontece quando alteramos os outros dois parâmetros, o alfa e o tamanho da amostra. Vamos fazer o seguinte: criaremos uma função para desenhar uma matriz de curvas de poder para uma hipótese nula fixa e várias hipóteses alternativas (as mesmas que nós já construímos) em relação a uma média. Cada curva terá valores variáveis para o seu alfa e também para o seu tamanho de amostra. Veja esta função: curva.poder <- function(H1, H0, pop.var, alfa, n) { a <- length(alfa) b <- length(n) par(mfrow=c(a,b)) for (i in 1:a){ for (j in 1:b){ plot(H1,pnorm(qnorm(alfa[i]/2)+abs((H0- H1))/sqrt(pop.var/n[j])), type="l", ylim=c(0,1), ylab="Poder", xlab="Hipótese Alternativa", main=paste(c("H0:", H0, ", alfa=", alfa[i], " e n=", n[j]), collapse="")) abline(h=0.8) } } par(mfrow=c(1,1)) } Ela vai pegar um vetor de hipóteses alternativas, e plotar a curva de poder em relação a uma hipótese nula, dada uma variância da população e ainda vetores de alfas e tamanhos de amostra. Os gráficos também têm uma linha horizontal em 80% de poder para referência. Note que o resultado é para alternativa bicaudal. Veja um resultado abaixo, para a nossa mesma hipótese nula de uma média de 100 mmHg, várias alternativas e a variância de 625 mmHg2: curva.poder(H1=seq(100,115,0.5), H0=100, pop.var=625, alfa=seq(0.025,0.10,0.025), n=seq(25,100,25)) As curvas obtidas podem ser vistas na figura abaixo. Que conclusões você poderia tirar? Façam uma linha vertical onde a curva cruza com a linha traçada em 80% de poder. O que acontece com a diferença detectada? Você consegue perceber que algumas vezes teremos que absolver o nosso réu por falta de provas? Mas eu tenho certeza que agora você está se perguntado: bom, se isso é uma área sob uma curva, deve ter uma daquelas cobrinhas (nome “carinhoso” da integral) que representa essa joça, não é mesmo? É mesmo! Tanto que eu vou deixar essa como exercício para vocês!!! Tamanho da amostra Por último, vamos ver um pouco mais sobre o tamanho da amostra, que como você já notou influencia bastante o poder do teste. Isso tudo é muito bonito, mas na prática mesmo de um desenho de estudo, a decisão final que terá que ser tomada é quanto ao tamanho da amostra a ser coletada da sua população. Isso porque, como você deve ter notado, os outros parâmetros que influenciam nessa nossa equação de poder são de uma maneira ou de outra chutados. Vamos ver a equação do poder novamente. Eis uma de suas representações, para um teste bilateral para a média. Encontrado em qualquer livro de estatística: 1−=[− z1− / 2 ∣0−1∣ n ] Essa equação envolve todos os parâmetros aos quais nos referimos anteriormente. Tente identificá-los (repare que nós usamos essa equação, com uma pequena modificação). Ah, lembre-se que  z é a área de uma normal desde menos infinito até o ponto z, ou seja, é aquela cobrinha... Alguma semelhança com uma função do R? 14 undo com recursos escassos (que papo de economista, hein?) é o melhor custo-benefício em termos de poder e tamanho de amostra, isto é, um tamanho de amostra que não seja muito caro de se obter tanto em termos de tempo quanto de dinheiro, mas que ao mesmo tempo seja capaz de responder à pergunta proposta pelo estudo de forma adequada. Bem, nesse caso seria interessante termos uma função para calcular o tamanho de uma amostra não é mesmo? Então vamos lá... tamanho.amostra <- function(alfa=0.05, poder=0.8, dif, var, bilateral=T) { if (bilateral){ zalfa<-qnorm(1-(alfa/2)) }else{ zalfa<-qnorm(1-alfa) } ceiling(((qnorm(poder)+zalfa)^2)*var/(dif^2)) } Essa é uma função bem simples, apenas para o caso de uma amostra que nós vínhamos discutindo, mas funciona. Experimente um tamanho de amostra para o nosso exemplo: tamanho.amostra(alfa=0.05, poder=0.8, dif=10, var=625, bilateral=T) Muito bem. Repare que nós mantivemos aqui a nossa variância conhecida, para podermos usar a Normal em vez da distribuição t. Apesar de existirem métodos (inclusive implementados no R) para um cálculo mais preciso de tamanho de amostra (e conseqüentemente do poder também), em geral essas aproximações pela Normal são usadas e funcionam bem, especialmente se estivermos falando de tamanhos de amostra suficientemente grandes (por que será?) Esses métodos mais específicos serão abordados na próxima aula... Aguardem! Apesar de nós só termos abordado o caso de uma amostra para a diferença de médias, toda esta teoria sobre teste de hipóteses, poder e tamanho de amostra pode e deve ser aplicada para outros problemas, como testes pareados, testes para mais de uma amostra, testes para proporções, etc. Como o raciocínio é o mesmo, se você entendeu como funciona, a extrapolação para as demais situações é bastante intuitiva também. Simulações Mas nem tudo são flores... Nem sempre é possível obter-se funções algébricas para calcular tamanhos de amostra para determinados problemas, como vocês poderão se deparar no futuro... Em situações como essas, podemos lançar mão de resultados aproximados, ou então usar um recurso que vem sendo empregado mais e mais freqüentemente em estatística que é o uso de simulações para o cálculo de poder de um teste. Neste caso, faz-se o caminho inverso: nós simulamos amostras sob a hipótese alternativa para vários tamanhos de amostra diferentes e calculamos o poder obtido para cada um desses tamanhos de amostras. Assim, é possível, para um determinado poder, estabelecermos um tamanho de amostra adequado. Mas como isso funciona, afinal de contas? Não dá para entender muito bem como isso funciona, não é mesmo? Mas é mais simples do que parece. Vamos lá: queremos calcular o poder do teste, certo? Isto significa que quero saber com que freqüência o meu teste é capaz de rejeitar a hipótese nula, quando a hipótese alternativa é verdadeira (um acerto). Muito bem, na simulação nós fazemos o caminho inverso: nós criamos uma base de dados que será uma amostra de uma população que tenha os parâmetros de uma hipótese alternativa. Complicou? Vamos ver o nosso caso: quero testar se a PAM é diferente de 100mmHg. Bom, para uma determinada hipótese alternativa, por exemplo 106mmHg, nós vamos gerar amostras de tamanhos diversos a partir de uma Normal (106, 625), que é a distribuição sob a hipótese alternativa e então vamos usar o nosso teste para ver se ele é capaz de detectar a diferença (que de fato existe.) Com isso teremos uma freqüência que corresponde mesmo ao poder desse teste para esta diferença. Vamos então implementar uma simulação no R, para esse problema. Vamos pensar: o poder do teste é a capacidade desse teste detectar uma real diferença quando ela realmente existe. Bem, baseado no que já vimos em termos de testes de hipóteses, uma das maneiras de se fazer isso, é calcular o p-valor e rejeitar H0 para valores menores que 0.05, por exemplo. Ora, então, isso quer dizer que se eu testar um valor fixo (como fizemos aqui, de 100 mmHg, nossa H0) contra uma distribuição que seja gerada de uma população com uma média de, digamos 106 mmHg, para diferentes tamanhos de amostra, o que acontece com o poder do teste? E se você não entendeu, não se preocupe, pois é mais simples do que parece. Vamos lá: queremos calcular o poder do teste, certo? Isto significa que queremos saber com que frequência o nosso teste é capaz de rejeitar a hipótese nula, quando a hipótese alternativa é verdadeira (um acerto). Muito bem, na simulação, fazemos o caminho inverso: criamos uma base de dados que será uma amostra de uma população que tenha os parâmetros de uma hipótese alternativa. Complicou? Vamos ver o nosso caso: queremos testar se a PAM é diferente de 100mmHg. Para uma determinada hipótese alternativa, por exemplo, 106mmHg, geramos amostras de tamanhos diversos a partir de uma distribuição normal com média 106 e variância 625, que é a distribuição sob a hipótese alternativa. Em seguida, usamos o teste para verificar se ele é capaz de detectar a diferença (que de fato existe). Com isso, obtemos uma frequência que corresponde ao poder desse teste para essa diferença. Implemente uma simulação no R para este problema. Pense: o poder do teste é a capacidade de detectar uma diferença real quando ela realmente existe. Com base no que vimos sobre testes de hipóteses, uma maneira de fazer isso é calcular o valor-p e rejeitar H0 para valores menores que 0.05, por exemplo. Isso significa que se testarmos um valor fixo (como fizemos aqui, 100 mmHg, nossa H0) contra uma distribuição gerada a partir de uma população com média, digamos, 106 mmHg, para diferentes tamanhos de amostra, o que acontece com o poder do teste?

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