x 0.2 0.4 0.6 0.8
f(x) −6.3 8.2 3.4 8.4
Determine o polinômio interpolador de f(x) nos pontos dados, usando a fórmula interpolatória de Lagrange para pontos equidistantes. Avalie f(0.47).
Respostas
Ed 
ano passado
Para determinar o polinômio interpolador de Lagrange para os pontos dados, utilizamos a fórmula: \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x) \] onde \( L_i(x) \) é dado por: \[ L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] Os pontos dados são: - \( x_0 = 0.2, f(x_0) = -6.3 \) - \( x_1 = 0.4, f(x_1) = 8.2 \) - \( x_2 = 0.6, f(x_2) = 3.4 \) - \( x_3 = 0.8, f(x_3) = 8.4 \) Vamos calcular cada \( L_i(x) \): 1. Para \( L_0(x) \): \[ L_0(x) = \frac{(x - 0.4)(x - 0.6)(x - 0.8)}{(0.2 - 0.4)(0.2 - 0.6)(0.2 - 0.8)} = \frac{(x - 0.4)(x - 0.6)(x - 0.8)}{-0.2 \cdot -0.4 \cdot -0.6} = \frac{(x - 0.4)(x - 0.6)(x - 0.8)}{0.048} \] 2. Para \( L_1(x) \): \[ L_1(x) = \frac{(x - 0.2)(x - 0.6)(x - 0.8)}{(0.4 - 0.2)(0.4 - 0.6)(0.4 - 0.8)} = \frac{(x - 0.2)(x - 0.6)(x - 0.8)}{0.08} \] 3. Para \( L_2(x) \): \[ L_2(x) = \frac{(x - 0.2)(x - 0.4)(x - 0.8)}{(0.6 - 0.2)(0.6 - 0.4)(0.6 - 0.8)} = \frac{(x - 0.2)(x - 0.4)(x - 0.8)}{0.08} \] 4. Para \( L_3(x) \): \[ L_3(x) = \frac{(x - 0.2)(x - 0.4)(x - 0.6)}{(0.8 - 0.2)(0.8 - 0.4)(0.8 - 0.6)} = \frac{(x - 0.2)(x - 0.4)(x - 0.6)}{0.12} \] Agora, substituímos \( L_i(x) \) na fórmula do polinômio \( P(x) \): \[ P(x) = -6.3 L_0(x) + 8.2 L_1(x) + 3.4 L_2(x) + 8.4 L_3(x) \] Depois de calcular \( P(x) \), para avaliar \( f(0.47) \), basta substituir \( x = 0.47 \) na expressão de \( P(x) \) que você obteve. Se precisar de mais detalhes sobre os cálculos, é só avisar!
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Seja a função f(x) definida conforme a tabela abaixo:
x 0 1 2 3
f(x) −2.5 6.7 10.8 k
onde k é o número formado pelos dois primeiros dígitos do seu R.A.
Determine o polinômio interpolador de f(x) utilizando:
(a) Lagrange
(b) Newton-Gregory
Avalie f(2.6).
Dada a função f(x) = 7x^2 + x pede-se:
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange na variável u de grau 2, que aproxima a função f(x) no intervalo [1 , 2] e, um limitante superior para o erro.
(b) Obter o valor aproximado da integral de f(x) no intervalo [1 , 2], usando o polinômio obtido em (a).
Considere a função f(x) = ex + cos(x) + 1, tabelada como segue:
x 0 0.5 1.1
f(x) 3 3.53 4.46
Usando o polinômio interpolador de Lagrange, avalie f(0.6) e determine um limitante superior para o erro.
Sabendo-se que a função f(x) = x− e−x admite uma raiz no intervalo [0 , 2], determine o valor desta raiz usando um polinômio de interpolação sobre três pontos. Estime o erro cometido.
Sejam a, b, c, d ∈ R. Mostre que existe um polinômio P (x) de grau 6 2 tal que, P (−1) = a,
P (0) = b, P (1) = c, P (3) = d se, e somente se, 3a− 8b + 6c− d = 0.
Calcular ln(4.7) usando interpolação sobre três pontos igualmente espaçados. Determine um limitante superior para o erro.
Com que grau de precisão podemos calcular 1150.5 usando interpolação e os pontos x0 = 100,
x1 = 121 e x2 = 144?
Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura, em oC, numa região de uma determinada cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Determinar, usando interpolação e todos os dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas.
dias
horas 1 2 3
6 18 17 18
8 20 20 21
10 24 25 22
12 28 27 23.
A partir de uma linha reta, próxima a uma das margens de um rio, foram medidas distâncias, em metros, entre esta linha reta e as duas margens de um rio de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados conforme tabela abaixo:
x 0 15 30 45 60
y(M1) 50.00 86.00 146.00 73.50 50.00
y(M2) 112.50 154.50 195.00 171.00 95.50
Usando interpolação e os dados acima, determinar o valor aproximado da largura do rio nos pontos 10, 20, 40 e 50 metros da origem, tomados em linha reta.
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