Dados A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1), C(0, 1, 3), encontre o vetor x⃗ tal que 2x⃗−−→AB = x⃗+(−−→BC · −−→AB)−→AC.

Para resolver a equação \(2\vec{x} - \overrightarrow{AB} = \vec{x} + (\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB}) - \overrightarrow{AC}\), precisamos primeiro calcular os vetores \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) e \(\overrightarrow{AC}\). 1. Cálculo dos vetores: - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (-4, 1, 1) - (-1, 0, 2) = (-3, 1, -1)\) - \(\overrightarrow{AC} = C - A = (0, 1, 3) - (-1, 0, 2) = (1, 1, 1)\) - \(\overrightarrow{BC} = C - B = (0, 1, 3) - (-4, 1, 1) = (4, 0, 2)\) 2. Produto escalar \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} = (4, 0, 2) \cdot (-3, 1, -1) = 4 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = -12 - 2 = -14 \] 3. Substituindo na equação: A equação se torna: \[ 2\vec{x} - (-3, 1, -1) = \vec{x} + (-14) - (1, 1, 1) \] Simplificando: \[ 2\vec{x} + (3, -1, 1) = \vec{x} - (15, 1, 1) \] 4. Isolando \(\vec{x}\): \[ 2\vec{x} - \vec{x} = - (15, 1, 1) - (3, -1, 1) \] \[ \vec{x} = - (15 + 3, 1 - 1, 1 + 1) = - (18, 0, 2) \] Portanto, \(\vec{x} = (-18, 0, -2)\). Assim, o vetor \(\vec{x}\) que satisfaz a equação é \((-18, 0, -2)\).