Para determinar os máximos e mínimos da função \( f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \) na região \( R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2; x^2 + y^2 \leq 4\} \), siga os passos abaixo: 1. Identifique o ponto crítico: A função \( f(x, y) \) é uma parábola que atinge seu mínimo quando \( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \) é mínimo. O ponto crítico é \( (1, 1) \). 2. Verifique se o ponto está na região: Calcule \( x^2 + y^2 \) para \( (1, 1) \): \[ 1^2 + 1^2 = 2 \leq 4 \] Portanto, \( (1, 1) \) está dentro da região \( R \). 3. Avalie a função nos limites da região: A borda da região é dada por \( x^2 + y^2 = 4 \). Para encontrar os extremos, parametrize a borda usando \( x = 2\cos(t) \) e \( y = 2\sin(t) \), onde \( t \) varia de \( 0 \) a \( 2\pi \). 4. Substitua na função: \[ f(2\cos(t), 2\sin(t)) = (2\cos(t) - 1)^2 + (2\sin(t) - 1)^2 \] 5. Simplifique: \[ = (4\cos^2(t) - 4\cos(t) + 1) + (4\sin^2(t) - 4\sin(t) + 1) \] \[ = 4(\cos^2(t) + \sin^2(t)) - 4(\cos(t) + \sin(t)) + 2 \] \[ = 4 - 4(\cos(t) + \sin(t)) + 2 = 6 - 4(\cos(t) + \sin(t)) \] 6. Maximize e minimize: O valor de \( \cos(t) + \sin(t) \) varia entre \( -\sqrt{2} \) e \( \sqrt{2} \). Assim: - Mínimo de \( f \) na borda ocorre quando \( \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \): \[ f_{\text{min}} = 6 - 4\sqrt{2} \] - Máximo de \( f \) na borda ocorre quando \( \cos(t) + \sin(t) = -\sqrt{2} \): \[ f_{\text{max}} = 6 + 4\sqrt{2} \] 7. Conclusão: - O mínimo de \( f \) na região \( R \) é \( 6 - 4\sqrt{2} \) em \( (1, 1) \). - O máximo de \( f \) na região \( R \) é \( 6 + 4\sqrt{2} \) na borda. Assim, os valores máximos e mínimos de \( f \) na região \( R \) são \( 6 - 4\sqrt{2} \) e \( 6 + 4\sqrt{2} \), respectivamente.