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Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa:

A 144 g.
B 123 g.
C 167 g.
D 198 g.
E 184 g.
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Questões para Estudantes

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Avaliação I - Cálculo Diferencial e Integral III
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Avaliação I - Cálculo Diferencial e Integral III

Uniasselvi

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Para calcular a massa da chapa delimitada pelo retângulo, precisamos usar a densidade de massa por área dada pela função \( \delta(x, y) = 2x^2y \) e integrar essa função sobre a área do retângulo. Os vértices do retângulo são (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4), o que significa que a área a ser integrada é: - \( x \) varia de 0 a 3 - \( y \) varia de 0 a 4 A massa \( M \) é dada pela integral dupla: \[ M = \int_0^3 \int_0^4 \delta(x, y) \, dy \, dx \] Substituindo \( \delta(x, y) \): \[ M = \int_0^3 \int_0^4 2x^2y \, dy \, dx \] Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^4 2x^2y \, dy = 2x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 2x^2 \cdot \frac{16}{2} = 16x^2 \] Agora, integramos em relação a \( x \): \[ M = \int_0^3 16x^2 \, dx = 16 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 16 \cdot \frac{27}{3} = 16 \cdot 9 = 144 \] Portanto, a massa da chapa é 144 g. A alternativa correta é: A 144 g.

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Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. É correto o que se afirma em:

A II e III, apenas.
B I, II e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I e IV, apenas.
E III e IV, apenas.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D. PORQUE II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4.

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta: Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.

A As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
B Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.
D As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
E As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e altura.

Sobre a mudança de variável em integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada, sem modificar a forma do domínio de integração. II. Em coordenadas esféricas, a função x² + y² + z² se transforma em ρ². III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois simplificam a função integrada e os limites de integração. IV. A coordenada Φ em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem. É correto o que se afirma em:

A II e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D I e III, apenas.
E II, III e IV, apenas.

Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6. PORQUE II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:

I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior.
IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.

É correto o que se afirma em:

A III e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e IV, apenas.
E II e III, apenas.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.

PORQUE

II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:

A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são falsas.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:

I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3.
II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um semicilindro.
III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1 e 3.
IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone.

É correto o que se afirma em:

A II e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.

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