Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 + x + 1} \)? a) 0 b) 1 c) \( \frac{1}{2} \) d) 2

Para calcular o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 + x + 1} \), vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. 1. No numerador, o termo de maior grau é \( x^2 \). 2. No denominador, o termo de maior grau é \( 2x^2 \). Assim, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos pelo maior grau, que é \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{2x^2(1 + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2x^2})} \] Isso simplifica para: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2(1 + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2x^2})} \] Quando \( x \to \infty \), os termos \( \frac{3}{x} \), \( \frac{2}{x^2} \), \( \frac{1}{2x} \) e \( \frac{1}{2x^2} \) tendem a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \frac{1 + 0 + 0}{2(1 + 0 + 0)} = \frac{1}{2} \] Assim, a resposta correta é: c) \( \frac{1}{2} \).