Questão 2 Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R por g(s, t) = f(as2 − bt2, bt2 − as2), onde a, b ∈ R. Determine a relação entre as constantes a e b para que a função g satisfaça tgs + sgt = 0.

Question

Questão 2 Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R por g(s, t) = f(as2 − bt2, bt2 − as2), onde a, b ∈ R. Determine a rel...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos aplicar a regra da cadeia e as propriedades das derivadas parciais.

Dada a função $ g(s, t) = f(as^2 - bt^2, bt^2 - as^2) $, vamos calcular as derivadas parciais $ g_s $ e $ g_t $:

1. **Derivada parcial em relação a $ s $**:
   $$
   g_s = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial (as^2 - bt^2)}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial (bt^2 - as^2)}{\partial s}
   $$
   $$
   g_s = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (2as) + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot (-2as)
   $$
   $$
   g_s = 2as \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right)
   $$

2. **Derivada parcial em relação a $ t $**:
   $$
   g_t = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial (as^2 - bt^2)}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial (bt^2 - as^2)}{\partial t}
   $$
   $$
   g_t = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (-2bt) + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot (2bt)
   $$
   $$
   g_t = 2bt \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial x} \right)
   $$

Agora, para que a condição $ t g_s + s g_t = 0 $ seja satisfeita, substituímos $ g_s $ e $ g_t $:

$$
t \cdot 2as \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) + s \cdot 2bt \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial x} \right) = 0
$$

Simplificando, temos:

$$
2as t \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) - 2bs t \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) = 0
$$

Fatorando:

$$
2st \left( a - b \right) \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) = 0
$$

Para que essa equação seja verdadeira para todos $ s $ e $ t $, precisamos que:

$$
a - b = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0
$$

Portanto, a relação entre as constantes $ a $ e $ b $ para que a função $ g $ satisfaça $ t g_s + s g_t = 0 $ é:

$$
a = b
$$

Cálculo

AD2 CIII 2015 2 gabarito

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AD2 CIII 2015 2 gabarito

Questão 1 Considere a superf́ıcie z = 3 + x2 + y2. (a) Determine a equação do plano tangente a esta superf́ıcie que é paralelo ao plano 2x+y+3z = 6; (b) Determine a equação da reta normal à superf́ıcie que é paralela à reta L = {(2, 1, 3) + t(−2, 2, 1); t ∈ R}.

Questão 3 Seja f : R2 −→ R a função definida por f(x, y) = x4 / (x2 + y2) se (x, y) ̸= (0, 0), e f(0, 0) = 0. (a) Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0); (b) Prove que f é diferenciável em (0, 0); (c) Prove que f é diferenciável em cada (x, y) ̸= (0, 0).

Questão 4 Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável. (a) Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = rsen θ, mostre que (fx)2 + (fy)2 = (zr)2 + (1/r2)(zθ)2; (b) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = essen t, mostre que (fx)2 + (fy)2 = e−2s[(us)2 + (ut)2].

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