Vamos resolver o problema passo a passo. 1. Definindo os algarismos: - Seja \( a \) o algarismo das centenas. - Seja \( b \) o algarismo das dezenas. - Seja \( c \) o algarismo das unidades. 2. Equações a partir das informações: - A soma dos algarismos é 18: \[ a + b + c = 18 \] - O algarismo da unidade é duas vezes maior que o da dezena: \[ c = 2b \] - Trocando os algarismos das centenas e das unidades, o novo número \( M \) é maior que \( N \) em 198: \[ 100c + 10b + a = 100a + 10b + c + 198 \] 3. Simplificando a última equação: \[ 100c + 10b + a - 100a - 10b - c = 198 \] \[ 99c - 99a = 198 \] \[ c - a = 2 \quad \text{(dividindo por 99)} \] 4. Substituindo \( c \): Substituindo \( c = 2b \) na equação \( c - a = 2 \): \[ 2b - a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 2b - 2 \] 5. Substituindo \( a \) e \( c \) na soma: Agora, substituímos \( a \) e \( c \) na equação da soma: \[ (2b - 2) + b + 2b = 18 \] \[ 5b - 2 = 18 \] \[ 5b = 20 \quad \Rightarrow \quad b = 4 \] 6. Encontrando \( a \) e \( c \): - \( c = 2b = 2 \times 4 = 8 \) - \( a = 2b - 2 = 2 \times 4 - 2 = 6 \) 7. Número \( N \): Portanto, o número \( N \) é: \[ N = 100a + 10b + c = 100 \times 6 + 10 \times 4 + 8 = 648 \] 8. Verificação: - Soma dos algarismos: \( 6 + 4 + 8 = 18 \) (correto) - \( c = 2b \): \( 8 = 2 \times 4 \) (correto) - Trocando \( a \) e \( c \): \( 100 \times 8 + 10 \times 4 + 6 = 846 \) - \( 846 - 648 = 198 \) (correto) Portanto, o número \( N \) é 648.