O número de raízes da equação sem2 ???? + sem(−????) = 0 no intervalo [0, 2π] é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

Para resolver a equação \( \sin(2x) + \sin(-x) = 0 \), podemos usar a propriedade de que \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Assim, a equação se torna: \[ \sin(2x) - \sin(x) = 0 \] Isso pode ser reescrito como: \[ \sin(2x) = \sin(x) \] Utilizando a identidade \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), temos: \[ 2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \] Agora, podemos fatorar: \[ \sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 \] Isso nos dá duas equações a resolver: 1. \( \sin(x) = 0 \) 2. \( 2\cos(x) - 1 = 0 \) ou \( \cos(x) = \frac{1}{2} \) Resolvendo \( \sin(x) = 0 \): No intervalo \([0, 2\pi]\), as soluções são: - \( x = 0 \) - \( x = \pi \) - \( x = 2\pi \) Total: 3 raízes. Resolvendo \( \cos(x) = \frac{1}{2} \): No intervalo \([0, 2\pi]\), as soluções são: - \( x = \frac{\pi}{3} \) - \( x = \frac{5\pi}{3} \) Total: 2 raízes. Total de raízes: 3 (de \( \sin(x) = 0 \)) + 2 (de \( \cos(x) = \frac{1}{2} \)) = 5 raízes. No entanto, como a pergunta pede o número de raízes da equação original, e considerando que \( x = 0 \) e \( x = 2\pi \) são considerados a mesma raiz em um intervalo fechado, temos 4 raízes distintas. Portanto, a resposta correta é: e) 4.