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Seja a terna (A, +, *) um corpo, considere o subconjunto S ⊂ A. Esse subconjunto de A, se munido das mesmas operações binárias (+, *), satisfaz todas as propriedades de corpo.

Sobre a estrutura algébrica subcorpo (S, +, *), julgue as afirmacoes que seguem:

I. S é um subconjunto não vazio de A.
II. Para cada ∀ x, y ∈ S, então x − y ∈ S.
III. Para cada ∀ x, y ∈ S − ｛0｝, então x * y ∈ S − {0}.

Está correto o que se afirma em:

a. I, apenas.
b. I e III, apenas.
c. I, II e III.
d. I e II, apenas.
e. II e III, apenas.

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Vamos analisar cada afirmativa: I. S é um subconjunto não vazio de A. Verdadeiro, para que S seja um subcorpo, ele deve conter pelo menos um elemento, portanto, deve ser não vazio. II. Para cada ∀ x, y ∈ S, então x − y ∈ S. Verdadeiro, pois a operação de subtração deve estar fechada em S para que ele seja um subcorpo. III. Para cada ∀ x, y ∈ S − {0}, então x * y ∈ S − {0}. Falso, pois a multiplicação de dois elementos não nulos de S pode resultar em zero, dependendo da estrutura do corpo original. Portanto, não é garantido que o produto de dois elementos não nulos permaneça em S sem incluir zero. Com base nas análises, as afirmativas corretas são I e II. Portanto, a alternativa correta é: d) I e II, apenas.

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Os anéis são importantes estruturas algébricas, pois são capazes de suportar as operações usuais de soma e multiplicação. No entanto, existem anéis com características particulares, capazes de operacionalizar propriedades específicas. Nesse contexto, julgue as afirmacoes que seguem: I – O conjunto das matrizes M (R) com as operações usuais é um anel com unidade. II – O conjunto das matrizes M (R) com as operações usuais é um anel comutativo. III – Um anel é dito ser comutativo se a terna (A,+,∙) é um anel, e para todo a,b ∈ A, é valido a∙b = b∙a. Está correto apenas o que se afirma em:

a. II.
b. III.
c. I.
d. I e II.
e. I e III.

Na álgebra abstrata, especificadamente em teoria dos grupos, a concepção de potência é muito semelhante à de múltiplo. No entanto, existe uma diferença significativa. Que diferença é essa?

a. A distinção entre as potências e os múltiplos está no fato de a primeira ser obtida a partir de um subgrupo de um grupo aditivo, e o segundo, por um grupo cíclico.
b. Sendo cíclico o grupo, é possível calcular potências a partir de expoentes inteiros maiores que zero, e, para obter múltiplos, consideram-se números pertencentes aos reais.
c. O conjunto das potências de um expoente inteiro é obtido a partir de um grupo multiplicativo, enquanto o conjunto de todos os múltiplos é encontrado segundo um grupo aditivo.
d. Tanto potências quanto múltiplos são gerados a partir de um subgrupo, porém as potências são obtidas por meio de propriedades da adição, e os múltiplos, por preceitos da multiplicação.
e. A partir de expoentes naturais, obtêm-se as potências, e, com o auxílio do conjunto dos números reais positivos, obtêm-se os múltiplos de um grupo multiplicativo.

Tendo em vista que a teoria dos grupos aborda a dinâmica de estruturação dos grupos cíclicos, considere dois subgrupos distintos caracterizados por J = [−2], pertencente ao conjunto dos números inteiros aditivo, e K = [6], pertencente ao conjunto dos números reais multiplicativo. Nesse caso, os grupos cíclicos referentes aos grupos J e K são, respectivamente:

a. J = {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, ...} e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}.
b. J = {..., 8, 4, 2, 1, 2, 4, 8, ...} e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}.
c. J = {..., −8, −4, −2, 1, 2, 4, 8, ...} e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 1, 6, 36, 216, ...}.
d. J = {..., −8, −4, −2, −1, 2, 4, 8, ...} e K = {..., 216, 36, 6, 1, 6, 36, 216, ...}.
e. J = {..., 8, 4, 2, 0, 2, 4, 8, ...} e K = {..., 1/216, 1/36, 1/6, 0, 6, 36, 216, ...}.

Uma estrutura algébrica anel consiste em um conjunto não vazio A dotado de duas operações binárias: soma(+) e produto (∙), e estas satisfazem um conjunto de propriedades. Uma delas é a do ________________________, a qual afirma que, para cada a∈A, existe a'∈A, tal que a+a'=a'+a=0∈A. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna.

a. elemento neutro da adição.
b. elemento comutativo.
c. elemento inverso multiplicativo.
d. elemento neutro da multiplicação.
e. elemento simétrico.

Seja F(I)=｛ f:I →R｝ o conjunto das funções definidas em I=(-1,1) com imagem em R. Além disso, considere o produto (∙) e a soma(+) de funções usuais, ou seja, para quaisquer f,g∈FI, tem-se: (f+g)(x)=f(x)+g(x),∀x∈A (f∙g)(x)=f(x)∙g(x),∀x∈A. Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas: I – A terna (F(I),+,∙) é um anel comutativo com unidade. PORQUE II – Dado 1 :I:(-1,1) ⟶1, tem-se: (f∙1 )(x)=f(x)∙1 (x)= (1 ∙f)(x)=1 (x)∙f(x) = f(x). A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:

a. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
b. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
c. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da I.
d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justi�cativa correta da I.
e. As asserções I e II são proposições falsas.

se seguem e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (∙) de A.
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas propriedades.
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da soma.
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta:

a. V, V, V, F.
b. V, F, V, F.
c. V, F, F, V.
d. V, F, V, F.
e. V, V, F, F.

Em uma tábua de operação, existem propriedades relacionadas à operação * sobre determinado conjunto. Essas propriedades são: associativa, comutativa, elemento neutro, elementos simetrizáveis e regulares.

Dentro desse contexto, assinale a alternativa que corresponde a todos os elementos neutros e simetrizáveis da tabela apresentada a seguir:

a. Elemento neutro: e. Elementos simetrizáveis: e, c, b.
b. Elemento neutro: e. Elemento simetrizável: e.
c. Elemento neutro: e. Elementos simetrizáveis: e, c.
d. Elemento neutro: e. Elementos simetrizáveis: c, b.
e. Elemento neutro: e. Elementos simetrizáveis: e, b.

Um grupo (A,), em que sua ordem é maior que 1, terá dois subgrupos triviais que podem ser colocados como (｛e｝,) e (A,). Os demais subgrupos serão chamados de subgrupos próprios.

Dentro desse contexto, assinale a alternativa que corresponde a todos os subgrupos próprios da tábua apresentada a seguir:

a. (｛e,a｝,) e ({e,c},).
b. (｛e,a｝,), ({e,b},) e ({e,c},).
c. (｛e,b｝,) e ({e,c},).
d. (｛e,c｝,).
e. (｛e,a｝,) e ({e,b},*).

O dispositivo de Briot Ruffini é um dos métodos utilizados para realizar a divisão de um polinômio de grau n>1 por um binômio do primeiro grau da forma x-a. Nesse contexto, use o dispositivo prático de Briot-Ruffini para encontrar o quociente e o resto de P(x)=3x²+2x+x+5 dividido por D(x)=x+1, assinalando a alternativa correta.

a. Quociente 3x -2x+1 e resto 5.
b. Quociente x -x +2x e resto 3.
c. Quociente x -2x+1 e resto 5.
d. Quociente -x +2x+3 e resto 0.
e. Quociente 3x -x+2 e resto 3.

Feito isso, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de preenchimento das lacunas:

a. F – F – F – V.
b. V – V – V – F.
c. V – V – F – F.
d. V – F – F – V.
e. F – V – F – F.