Vamos analisar cada uma das alternativas para identificar a correta: a) y(x) = 4x² ln x é solução da EDO x²y′′ − 2xy′ + 2y = 2x²; Para verificar se essa função é solução, precisaríamos calcular as derivadas e substituí-las na EDO. Isso pode ser complexo, mas, em geral, funções que envolvem logaritmos não costumam ser soluções simples para EDOs desse tipo. b) A solução do PVI y′′ + 3y′ = 0, y(0) = −2, y′(0) = 3, é y(x) = 1 − 3e−3x; A equação diferencial é de segunda ordem e a solução geral é da forma y(x) = C₁ + C₂e^{-3x}. Aplicando as condições iniciais, podemos verificar que a solução dada não se encaixa corretamente. c) y1(x) = e⁴x e y2(x) = xe⁴x formam um conjunto fundamental de soluções para y′′ − 4y′ + 4y = 0; Essa EDO é uma equação de coeficientes constantes. A solução geral é da forma y(x) = (C₁ + C₂x)e^{4x}. Portanto, essa alternativa está correta. d) A solução geral da EDO y′′ − 2y′ + y = ex/x⁴ é y(x) = ex (A + Bx + 1/6x²), A, B ∈ R. Essa alternativa parece complexa, mas a forma da solução não parece estar correta para a EDO dada. Após a análise, a alternativa correta é: c) y1(x) = e⁴x e y2(x) = xe⁴x formam um conjunto fundamental de soluções para y′′ − 4y′ + 4y = 0.