Prove que lim x→x0 f(x) = L ⇔ lim x→x0 [f(x)− L] = 0 ⇔ lim x→x0 |f(x)− L| = 0.

Para provar que \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \) é equivalente a \( \lim_{x \to x_0} [f(x) - L] = 0 \) e \( \lim_{x \to x_0} |f(x) - L| = 0 \), vamos analisar cada parte: 1. \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \) implica \( \lim_{x \to x_0} [f(x) - L] = 0 \): - Se \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \), isso significa que, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x - x_0| < \delta \), então \( |f(x) - L| < \epsilon \). - Portanto, \( |f(x) - L| \) se aproxima de 0, ou seja, \( \lim_{x \to x_0} [f(x) - L] = 0 \). 2. \( \lim_{x \to x_0} [f(x) - L] = 0 \) implica \( \lim_{x \to x_0} |f(x) - L| = 0 \): - Se \( \lim_{x \to x_0} [f(x) - L] = 0 \), então, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x - x_0| < \delta \), então \( |f(x) - L| < \epsilon \). - Isso é exatamente a definição de \( \lim_{x \to x_0} |f(x) - L| = 0 \). 3. \( \lim_{x \to x_0} |f(x) - L| = 0 \) implica \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \): - Se \( \lim_{x \to x_0} |f(x) - L| = 0 \), então, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x - x_0| < \delta \), então \( |f(x) - L| < \epsilon \). - Isso significa que \( f(x) \) se aproxima de \( L \), ou seja, \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \). Assim, temos que as três afirmações são equivalentes. Portanto, a prova está completa!