3. Determine os valores de a e b para que a função f, dada abaixo, seja contínua em R. f(x) = { x⁶, x ≤ −1; ax + b, −1 < x < 2; x² + 5, x ≥ 2 }

Para que a função \( f(x) \) seja contínua em \( \mathbb{R} \), precisamos garantir que os limites laterais em \( x = -1 \) e \( x = 2 \) sejam iguais aos valores da função nesses pontos. 1. Em \( x = -1 \): - Para \( x \leq -1 \): \( f(-1) = (-1)^6 = 1 \) - Para \( -1 < x < 2 \): \( f(-1) = a(-1) + b = -a + b \) Para continuidade em \( x = -1 \): \[ -a + b = 1 \quad (1) \] 2. Em \( x = 2 \): - Para \( x \geq 2 \): \( f(2) = 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 \) - Para \( -1 < x < 2 \): \( f(2) = a(2) + b = 2a + b \) Para continuidade em \( x = 2 \): \[ 2a + b = 9 \quad (2) \] Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( -a + b = 1 \) 2. \( 2a + b = 9 \) Subtraindo a equação (1) da equação (2): \[ (2a + b) - (-a + b) = 9 - 1 \] \[ 3a = 8 \implies a = \frac{8}{3} \] Substituindo \( a \) na equação (1): \[ -\frac{8}{3} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{8}{3} = \frac{3}{3} + \frac{8}{3} = \frac{11}{3} \] Portanto, os valores de \( a \) e \( b \) são: \[ a = \frac{8}{3}, \quad b = \frac{11}{3} \]