4. (1,0) Sejam −→u e −→v vetores tais que −→u ·−→v = 6, ∥−→v ∥ = 3√2 e (−→u ,−→v ) = π/4 rad. Calcule ∥−→u +−→v ∥.

Question

Ed · Answer

Para calcular a norma do vetor $\vec{u} + \vec{v}$, podemos usar a fórmula:

$$
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})
$$

Sabemos que:
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$
- $\|\vec{v}\| = 3\sqrt{2}$, então $\|\vec{v}\|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$

Agora, precisamos encontrar $\|\vec{u}\|^2$. Para isso, usamos a relação entre o produto escalar e o ângulo:

$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)
$$

onde $\theta = \frac{\pi}{4}$. Assim, temos:

$$
6 = \|\vec{u}\| \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
$$

Sabendo que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, substituímos:

$$
6 = \|\vec{u}\| \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Isso simplifica para:

$$
6 = \|\vec{u}\| \cdot 3
$$

Portanto, $\|\vec{u}\| = 2$. Agora, podemos calcular $\|\vec{u}\|^2$:

$$
\|\vec{u}\|^2 = 2^2 = 4
$$

Agora, substituímos tudo na fórmula da norma:

$$
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 4 + 18 + 2 \cdot 6
$$

$$
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 4 + 18 + 12 = 34
$$

Finalmente, tiramos a raiz quadrada:

$$
\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{34}
$$

Portanto, a norma $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ é $\sqrt{34}$.

Respostas