Grátis: Exerćıcio 10.6. Seja Q = (0, 1) × (0, 1). Suponha que f : Q → R, e g : Q → R sejam diferenciáveis em Q. Mostre que se f ′(x) = g′(x) para todo x ...

Economia

Outros

Exerćıcio 10.6. Seja Q = (0, 1) × (0, 1). Suponha que f : Q → R, e g : Q → R sejam diferenciáveis em Q. Mostre que se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ Q, então existe constante c tal que f(x) = g(x) + c para todo x ∈ Q.

EconomiaNova

ano passado

EconomiaNova

ano passado

126 pág.

Apostila Matemática Anpec

UFPA

Respostas

ano passado

Você precisa criar uma nova pergunta.

Essa resposta te ajudou?

Ainda com dúvidas?

Envie uma pergunta e tenha sua dúvida de estudo respondida!

Essa pergunta também está no material:

126 pág.

Apostila Matemática Anpec

UFPA

Mais perguntas desse material

Exerćıcio 1.4. Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, i.e., A∩B = ∅. Seja X = A∪B. Mostre que A = X\B e B = X\A.

Exerćıcio 1.5. Sejam A e B dois conjuntos, e C = (A\B) ∪ (B\A). Mostre que C = (A ∪B)\(A ∩B) e que C ∩ A ∩B = ∅.

Exerćıcio 10.3. Sejam a < b números reais, e f : [a, b] → R cont́ınua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Mostre que entre duas ráızes consecutivas de f ′ existe no máximo uma raiz de f.

Exerćıcio 10.4. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = {xy2 / (x2 + y4) para (x, y) 6= (0, 0), 0 para (x, y) = (0, 0). Mostre que a derivada direcional de f em (0, 0) com respeito a u = (a, b) existe e que Duf(0, 0) = b2 / a, se a 6= 0. Mostre que f não é cont́ınua e portanto não é diferenciável no (0, 0).

Exerćıcio 10.8. Seja B = {x ∈ Rm : ‖x‖ ≤ 1} e f : B → R função cont́ınua em B, diferenciável no interior de B e tal que f ≡ 0 na fronteira de B. Mostre que f tem ponto cŕıtico no interior de B.

Exerćıcio 10.12. Sejam as funções f : R → R e g : R → R duas vezes diferenciáveis, com as segundas derivadas cont́ınuas. Suponha que o zero seja ponto de mı́nimo estrito de f e g, e que f(0) = g(0) = 1. Seja ϕ : R2 → R dada por ϕ(x, y) = f(x)g(y). O que podemos afirmar sobre a Hessiana de ϕ em (0, 0) (nada pode ser afirmado, ela é indefinida, positiva definida, positiva semi-definida, negativa definida, etc)? O que podemos afirmar sobre o ponto (0, 0) em relação à ϕ (nada pode ser afirmado, é ponto de máximo, de máximo estrito, de mı́nimo, de mı́nimo estrito, de sela, etc)? Justifique suas respostas.

Exerćıcio 10.13. Seja f : R → R3 diferenciável e tal que ‖f(t)‖ = 1 para todo t ∈ R. Mostre então que f ′(t) · f(t) = 0. O vetor f ′(t) é o vetor tangente da curva f em t.

Exerćıcio 10.14. Seja Ω ⊆ Rm aberto e f : Ω → R diferenciável em x ∈ Ω. Seja ∇f(x) = (∂f/∂x1, . . . , ∂f/∂xm)(x) ∈ Rm. Supondo que x não é ponto cŕıtico de f , mostre que a derivada direcional Duf(x) atinge seu máximo quando u = c∇f(x) para algum c > 0. O vetor ∇f é chamado de vetor gradiente de f , e dá a direção de “maior crescimento” da função f no ponto x.

Seja A a matriz na base canônica do operador linear L : R3 → R3 dado por L(x, y, z) = (x+ 2y + 3z, 4x+ 5y + 6z, 7x+ 8y + 9z). Denote por λ1, λ2, λ3 os autovalores da matriz A. Julgue os itens abaixo:

0 O posto de A é 2.
1 L(1,−2, 1) = (0, 0, 0).
2 λ1λ2λ3 6= 0.
3 λ1 + λ2 + λ3 = 15.
4 L é diagonalizável.

Economia

Apostila Matemática Anpec

Respostas

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

Apostila Matemática Anpec

Exerćıcio 1.4. Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, i.e., A∩B = ∅. Seja X = A∪B. Mostre que A = X\B e B = X\A.

Exerćıcio 1.5. Sejam A e B dois conjuntos, e C = (A\B) ∪ (B\A). Mostre que C = (A ∪B)\(A ∩B) e que C ∩ A ∩B = ∅.

Exerćıcio 10.3. Sejam a < b números reais, e f : [a, b] → R cont́ınua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Mostre que entre duas ráızes consecutivas de f ′ existe no máximo uma raiz de f.

Exerćıcio 10.8. Seja B = {x ∈ Rm : ‖x‖ ≤ 1} e f : B → R função cont́ınua em B, diferenciável no interior de B e tal que f ≡ 0 na fronteira de B. Mostre que f tem ponto cŕıtico no interior de B.

Exerćıcio 10.13. Seja f : R → R3 diferenciável e tal que ‖f(t)‖ = 1 para todo t ∈ R. Mostre então que f ′(t) · f(t) = 0. O vetor f ′(t) é o vetor tangente da curva f em t.

Mais conteúdos dessa disciplina