Para resolver a equação diferencial \(16x'' + x = 0\), primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. 1. Encontrar a solução característica: A equação característica é dada por: \[ 16r^2 + 1 = 0 \] Resolvendo, temos: \[ r^2 = -\frac{1}{16} \implies r = \pm \frac{i}{4} \] Portanto, as raízes são complexas, e a solução geral da equação diferencial é: \[ x(t) = C_1 \cos\left(\frac{t}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{t}{4}\right) \] 2. Aplicar as condições de contorno: Agora, aplicamos as condições de contorno \(x(0) = 4\) e \(x(2\pi) = 3\). - Para \(x(0) = 4\): \[ x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 4 \] - Para \(x(2\pi) = 3\): \[ x(2\pi) = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_2 \] Portanto, \(C_2 = 3\). 3. Solução final: A solução que atende às condições de contorno é: \[ x(t) = 4 \cos\left(\frac{t}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{t}{4}\right) \] Agora, analisando as alternativas: A) \(3 e^x + 2 e^{-x}\) - Não é a solução correta. B) \(4 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{x}{4}\right)\) - Esta é a solução correta. C) \(4 e^x \cos\left(\frac{x}{4}\right) + 3 e^x \sin\left(\frac{x}{4}\right)\) - Não é a solução correta. D) \(4 e^4 + 3x e^4\) - Não é a solução correta. E) \(2 \cos\left(\frac{x}{4}\right) - 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right)\) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é B: \(4 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{x}{4}\right)\).