Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\)? A) 0 B) 1 C) \frac{1}{4} D) \frac{1}{2}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 - 3x^2 + 1\). 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x \] Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{2}\). A alternativa correta é: D) \(\frac{1}{2}\).