Em uma cidade de 5 000 habitantes, alguém resolve espalhar um boato. Considerando que, a cada 10 minutos, uma pessoa é capaz de contar o caso para 3 pessoas desinformadas, determine em quanto tempo toda a cidade fica conhecendo o boato.

Question

Em uma cidade de 5 000 habitantes, alguém resolve espalhar um boato. Considerando que, a cada 10 minutos, uma pessoa é capaz de contar o caso para ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar como o boato se espalha ao longo do tempo.

1. **Início**: No começo, temos 1 pessoa que conhece o boato.
2. **Tempo**: A cada 10 minutos, essa pessoa conta para 3 novas pessoas.

Vamos calcular o número de pessoas que conhecem o boato a cada intervalo de 10 minutos:

- **Após 10 minutos**: 1 (inicial) + 3 = 4 pessoas
- **Após 20 minutos**: 4 (já informadas) contam para 3 pessoas cada, então: 4 * 3 = 12 novas pessoas. Total: 4 + 12 = 16 pessoas
- **Após 30 minutos**: 16 contam para 3 pessoas cada: 16 * 3 = 48 novas pessoas. Total: 16 + 48 = 64 pessoas
- **Após 40 minutos**: 64 contam para 3 pessoas cada: 64 * 3 = 192 novas pessoas. Total: 64 + 192 = 256 pessoas
- **Após 50 minutos**: 256 contam para 3 pessoas cada: 256 * 3 = 768 novas pessoas. Total: 256 + 768 = 1024 pessoas
- **Após 60 minutos**: 1024 contam para 3 pessoas cada: 1024 * 3 = 3072 novas pessoas. Total: 1024 + 3072 = 4096 pessoas
- **Após 70 minutos**: 4096 contam para 3 pessoas cada: 4096 * 3 = 12288 novas pessoas. Total: 4096 + 12288 = 16384 pessoas

Como a cidade tem apenas 5.000 habitantes, podemos ver que, após 60 minutos, já temos 4096 pessoas informadas. Portanto, em mais 10 minutos, o boato se espalhará para todas as 5.000 pessoas.

**Resposta final**: Toda a cidade ficará sabendo do boato em **70 minutos**.

Análise Matemática

Fundamentos de Analise - Numeros Naturais e o Principio de Inducao Finita, Conjuntos finitos e infinitos - Exercícios

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Fundamentos de Analise - Numeros Naturais e o Principio de Inducao Finita, Conjuntos finitos e infinitos - Exercícios

Seja X ⊂N um conjunto não-vazio de números naturais e admita que existe a ∈N tal que n ≤ a para todo n ∈N. Mostre que X tem elemento máximo, i.e., existe b ∈ X tal que n ≤ b para todo n ∈ X.

Mostre que dados m,n ∈N vale o princípio da tricotomia: ou m = n ou m < n ou n < m, exclusivamente.

Seja X ⊂N não-vazio com a seguinte propriedade: Se X contém todos os números naturais menores que um certo n ∈ N então n ∈ X. Mostre que X = N. Esta propriedade é chamada de Princípio da Indução Forte.

Defina a subtração m−n de dois naturais m,n tais que m < n. Enuncie e prove as propriedades pertinentes que puder.

Defina a potenciação mn de dois naturais m,n quaisquer. Enuncie e prove as propriedades pertinentes que puder.

Dados m,n ∈N, dizemos que m divide n se existe k ∈N tal que n = mk, sendo este fato denotado por m|n. O número k é também denotado por n/m. (a) Prove que a relação de divisibilidade é reflexiva e transitiva. (b) Prove que se m|n e m|p então m|(n +p).

Prove as seguintes desigualdades: (a) n! ≥ 2n para todo n ≥ 4; (b) n! ≥ 3n para todo n ≥ 7; (c) n! ≥ 4n para todo n ≥ 9; (d) 2n−2 ≥ 2n −3 para todo n ≥ 5;

Mostre que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por dn = n(n − 3)/2.

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