Determinar o volume do sólido limitado por Z = 4 – x2 ; x = 0 ; y = 6 ; z = 0 ; y = 0 A) 55 u.v B) 26 u.v X C) 32 u.v D) 47 u.v E) 76 u.v

Para determinar o volume do sólido limitado pela superfície \( z = 4 - x^2 \), as superfícies \( x = 0 \), \( y = 0 \) e \( y = 6 \), e o plano \( z = 0 \), precisamos primeiro entender os limites de integração. 1. Identificar os limites: - A função \( z = 4 - x^2 \) é uma parábola que se abre para baixo. - O limite em \( y \) vai de 0 a 6. - O limite em \( x \) vai de 0 até onde a parábola intercepta o plano \( z = 0 \), ou seja, \( 4 - x^2 = 0 \) implica \( x^2 = 4 \) ou \( x = 2 \). 2. Volume: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \int_{0}^{6} \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx \, dy \] 3. Cálculo da integral: Primeiro, calculamos a integral interna: \[ \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 0 \right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] 4. Integral externa: Agora, integramos em relação a \( y \): \[ V = \int_{0}^{6} \frac{16}{3} \, dy = \frac{16}{3} \cdot 6 = \frac{96}{3} = 32 \] Portanto, o volume do sólido é \( 32 \, u.v \). A alternativa correta é: C) 32 u.v.