Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} + \frac{\cos(x)}{x} \), vamos aplicar as regras de derivação. 1. Derivada de \( e^{2x} \): - Usamos a regra da cadeia: a derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \), onde \( u = 2x \) e \( u' = 2 \). - Portanto, a derivada de \( e^{2x} \) é \( 2e^{2x} \). 2. Derivada de \( \frac{\cos(x)}{x} \): - Aqui, aplicamos a regra do quociente: se \( u = \cos(x) \) e \( v = x \), então a derivada é dada por: \[ \frac{u'v - uv'}{v^2} \] - Onde \( u' = -\sin(x) \) e \( v' = 1 \). - Assim, a derivada de \( \frac{\cos(x)}{x} \) é: \[ \frac{-\sin(x) \cdot x - \cos(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-\sin(x) \cdot x - \cos(x)}{x^2} \] Agora, juntando tudo, temos: \[ f'(x) = 2e^{2x} + \frac{-\sin(x) \cdot x - \cos(x)}{x^2} \] Simplificando, a derivada se torna: \[ f'(x) = 2e^{2x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( f'(x) = 2e^{2x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \) - Correta. b) \( f'(x) = 2e^{2x} + \frac{\sin(x)}{x^2} \) - Incorreta. c) \( f'(x) = 2e^{2x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \) - Incorreta. d) \( f'(x) = 2e^{2x} + \frac{\cos(x)}{x^2} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( f'(x) = 2e^{2x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \).