Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \).

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). 1. Vamos fazer uma substituição: seja \( u = 5x \). Assim, quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. 2. Reescrevendo o limite em termos de \( u \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u/5} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \] 3. Sabemos que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \), então: \[ 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 5 \cdot 1 = 5 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \]