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1. Calcule a integral definida \(\int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx\). A) 0 B) \(\frac{1}{6}\) C) 1 D) \(\frac{1}{5}\)

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UNOPAR

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há 11 meses

Para calcular a integral definida \(\int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. A antiderivada de \(6x^5\) é \(\frac{6}{6}x^6 = x^6\). 2. A antiderivada de \(-5x^4\) é \(-\frac{5}{5}x^5 = -x^5\). 3. A antiderivada de \(4x^3\) é \(\frac{4}{4}x^4 = x^4\). 4. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). 5. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). 6. A antiderivada de \(-1\) é \(-x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x \] Agora, vamos calcular a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = 1^6 - 1^5 + 1^4 - 1^3 + 1^2 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0 \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = 0^6 - 0^5 + 0^4 - 0^3 + 0^2 - 0 = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx = 0 - 0 = 0 \] A resposta correta é: A) 0

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81. Se um triângulo possui ângulo de 60° e as outras grandezas são 12 cm e 15 cm, qual é o tipo?

a) Isósceles
b) Escaleno
c) Equilátero
d) Retângulo

2. Determine o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).

A) 0
B) 1
C) 3
D) Infinito

3. Calcule a derivada da função \(f(x) = x^2 \sin(x)\).

A) \(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\)
B) \(2x \cos(x) + x^2 \sin(x)\)
C) \(x^2 \sin'(x)\)
D) \(x \sin(x)\)

4. Resolva a equação diferencial: \(\frac{dy}{dx} = y(1 - y)\).

A) \(y(x) = \frac{1}{1 + Ce^{-x}}\)
B) \(y(x) = Ce^x\)
C) \(y(x) = 1 - C e^{-x}\)
D) \(y(x) = C e^{-x} + 1\)

5. Encontre a série de Taylor para \(f(x) = e^x\) centrada em \(x = 0\) até a ordem 4.

A) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\)
B) \(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\)
C) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\)
D) \(1 + x + x^2 + x^3 + x^4\)

6. Calcule a integral \(\int (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx\).

A) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x + C\)
B) \(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + C\)
C) \(\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 4\)
D) \(\frac{x^3}{3} + \frac{2x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + 4x + C\)

7. Determine a segunda derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

A) \(-\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\)
B) \(\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\)
C) \(-\frac{4x^2}{(x^2 + 1)^3}\)
D) \(\frac{4x}{(x^2 + 1)^2}\)

8. Calcule a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\).

A) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
B) \(\frac{1}{9} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\)
C) \(-\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
D) \(\frac{1}{6} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)

9. Encontre o máximo local da função \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\).

A) (2, 5)
B) (1, 6)
C) (3, 2)
D) (4, 0)

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