Determine o valor de ∫_0^1 (1 - x^3)^{5} dx. a) rac{1}{6} b) rac{1}{5} c) rac{1}{7} d) rac{1}{8}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{5} dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. Derivando \(u\), obtemos \(du = -3x^2 dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^5 \left(-\frac{du}{3(1-u)^{\frac{2}{3}}}\right) \] 4. Mudando os limites de integração, temos: \[ \frac{1}{3} \int_0^1 u^5 (1-u)^{-\frac{2}{3}} du \] 5. Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da Beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \] onde \(B(6, \frac{1}{3}) = \frac{\Gamma(6) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(6 + \frac{1}{3})}\). 6. Calculando, obtemos: \[ \frac{1}{3} B(6, \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5! \cdot \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(6 + \frac{1}{3})} \] 7. Após simplificações, o resultado final da integral é \(\frac{1}{6}\). Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{6}\).