Determine a integral $\int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx$.A) e^{x^3} + CB) \frac{1}{3} e^{x^3} + CC) e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3}) + CD) e^{x^3}(x^3 - 2x + 1) + C

Question

Determine a integral $\int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx$.

A) e^{x^3} + C
B) \frac{1}{3} e^{x^3} + C
C) e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3}) + C
D) e...

Ed · Answer

Para resolver a integral $\int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx$, podemos usar a técnica de substituição. Vamos considerar a substituição $u = x^3$, o que implica que $du = 3x^2 \, dx$ ou $dx = \frac{du}{3x^2}$.

Substituindo na integral, temos:

$$
\int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx = \int (3x^2) e^{u} \frac{du}{3x^2} - \int (4x) e^{u} \frac{du}{3x^2} + \int e^{u} \frac{du}{3x^2}
$$

A primeira parte se simplifica para:

$$
\int e^{u} \, du = e^{u} + C = e^{x^3} + C
$$

As outras partes envolvem $x$ e não se simplificam diretamente, mas podemos observar que a integral original pode ser resolvida diretamente pela regra do produto e a derivada de $e^{x^3}$.

Ao derivar $e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3})$, obtemos:

$$
\frac{d}{dx}\left(e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3})\right) = e^{x^3}(3x^2)(x^3 - 2x + \frac{1}{3}) + e^{x^3}(3x^2 - 4x + 1)
$$

Portanto, a integral se resolve como:

$$
\int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx = e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3}) + C
$$

Assim, a alternativa correta é:

C) $e^{x^3}(x^3 - 2x + \frac{1}{3}) + C$

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Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).

A) \( \frac{\pi}{4} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \)
C) \( 1 \)
D) \( \frac{1}{2} \)

Encontre a integral \(\int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx\).

A) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
B) \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
C) \frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
D) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) - C

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2}{x^3 - x + 4}\).

A) 3
B) 5
C) 1
D) 0

Encontre a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2 - 1\).

A) \frac{1}{y} - x = C
B) \ln|y-1| - \ln|y+1| = x + C
C) y = \frac{1}{C + x}
D) y = C e^{x} + 1

Calcule a integral \(\int \frac{x^2 + 1}{x^3} \, dx\).

A) -\frac{1}{2x^2} + \ln|x| + C
B) \frac{1}{3} \ln|x| + C
C) \ln|x| - \frac{1}{3x^2} + C
D) -\frac{1}{3x^2} + \ln|x| + C

Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).

A) \frac{\pi}{2}
B) \frac{\pi}{4}
C) \frac{\pi}{3}
D) \frac{\pi}{6}

Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).

a) 1
b) 0
c) 2
d) \( \infty \)

Calcule a integral \(\int_0^1 x^3(1 - x)^2 \, dx\).

a) \(\frac{1}{30}\)
b) \(\frac{1}{24}\)
c) \(\frac{1}{20}\)
d) \(\frac{1}{12}\)

Encontre a solução da equação \(\frac{dy}{dx} = y^2 + 4\).

A) y = \sqrt{4 + C - x}
B) y = \sqrt{C - 4x}
C) y = \frac{2}{\sqrt{C - 4x}}
D) y = \sqrt{C - 4}

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Encontre a integral \(\int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx\).A) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + CB) \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + CC) \frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + CD) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) - C

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2}{x^3 - x + 4}\).A) 3B) 5C) 1D) 0

Encontre a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2 - 1\).A) \frac{1}{y} - x = CB) \ln|y-1| - \ln|y+1| = x + CC) y = \frac{1}{C + x}D) y = C e^{x} + 1

Calcule a integral \(\int \frac{x^2 + 1}{x^3} \, dx\).A) -\frac{1}{2x^2} + \ln|x| + CB) \frac{1}{3} \ln|x| + CC) \ln|x| - \frac{1}{3x^2} + CD) -\frac{1}{3x^2} + \ln|x| + C

Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).A) \frac{\pi}{2}B) \frac{\pi}{4}C) \frac{\pi}{3}D) \frac{\pi}{6}

Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).a) 1b) 0c) 2d) \( \infty \)

Calcule a integral \(\int_0^1 x^3(1 - x)^2 \, dx\).a) \(\frac{1}{30}\)b) \(\frac{1}{24}\)c) \(\frac{1}{20}\)d) \(\frac{1}{12}\)

Encontre a solução da equação \(\frac{dy}{dx} = y^2 + 4\).A) y = \sqrt{4 + C - x}B) y = \sqrt{C - 4x}C) y = \frac{2}{\sqrt{C - 4x}}D) y = \sqrt{C - 4}

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Encontre a integral \(\int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx\).

A) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
B) \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
C) \frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
D) \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) - C

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2}{x^3 - x + 4}\).

A) 3
B) 5
C) 1
D) 0

Encontre a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2 - 1\).

A) \frac{1}{y} - x = C
B) \ln|y-1| - \ln|y+1| = x + C
C) y = \frac{1}{C + x}
D) y = C e^{x} + 1

Calcule a integral \(\int \frac{x^2 + 1}{x^3} \, dx\).

A) -\frac{1}{2x^2} + \ln|x| + C
B) \frac{1}{3} \ln|x| + C
C) \ln|x| - \frac{1}{3x^2} + C
D) -\frac{1}{3x^2} + \ln|x| + C

Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).

A) \frac{\pi}{2}
B) \frac{\pi}{4}
C) \frac{\pi}{3}
D) \frac{\pi}{6}

Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).

a) 1
b) 0
c) 2
d) \( \infty \)

Calcule a integral \(\int_0^1 x^3(1 - x)^2 \, dx\).

a) \(\frac{1}{30}\)
b) \(\frac{1}{24}\)
c) \(\frac{1}{20}\)
d) \(\frac{1}{12}\)

Encontre a solução da equação \(\frac{dy}{dx} = y^2 + 4\).

A) y = \sqrt{4 + C - x}
B) y = \sqrt{C - 4x}
C) y = \frac{2}{\sqrt{C - 4x}}
D) y = \sqrt{C - 4}