Determine o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx \). A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( 0 \) D) \( \frac{1}{3} \)
Respostas
Ed 
há 10 meses
Para resolver a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx \), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). - A antiderivada de \( -6x^2 \) é \( -2x^3 \). - A antiderivada de \( 2 \) é \( 2x \). Portanto, a antiderivada de \( 4x^3 - 6x^2 + 2 \) é: \[ F(x) = x^4 - 2x^3 + 2x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) de 0 a 1: \[ \int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = 1^4 - 2(1^3) + 2(1) = 1 - 2 + 2 = 1 \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0^4 - 2(0^3) + 2(0) = 0 \] 3. Substituir os valores: \[ \int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1 \] Portanto, o valor da integral é \( 1 \). A resposta correta é: A) \( 1 \).
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