Qual é o valor de \( an(105^ ext{º}) \)? a) \( 1 \) b) \( \sqrt{3} \) c) \( -\sqrt{3} \) d) \( -1 \)

Para encontrar o valor de \( \tan(105^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos. O ângulo \( 105^\circ \) pode ser escrito como \( 60^\circ + 45^\circ \). A fórmula da tangente da soma é: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Substituindo \( a = 60^\circ \) e \( b = 45^\circ \): \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \tan(45^\circ) = 1 \] Agora, aplicando a fórmula: \[ \tan(105^\circ) = \frac{\tan(60^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(60^\circ) \tan(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \] Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: \[ \tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{-2} \] O numerador se torna \( 3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \). Assim, temos: \[ \tan(105^\circ) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou a pergunta.