Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Definindo o número de alunos: Vamos chamar o número de alunos de \( N \). 2. Condições dadas: - Quando formamos equipes de 7 alunos, sobram 6. Isso pode ser escrito como: \[ N \equiv 6 \mod 7 \] - Quando formamos equipes de 9 alunos, sobram 5. Isso pode ser escrito como: \[ N \equiv 5 \mod 9 \] 3. Resolvendo a primeira congruência: - A primeira congruência nos diz que \( N = 7k + 6 \) para algum inteiro \( k \). 4. Substituindo na segunda congruência: - Substituindo na segunda congruência: \[ 7k + 6 \equiv 5 \mod 9 \] - Simplificando: \[ 7k \equiv -1 \mod 9 \quad \text{ou} \quad 7k \equiv 8 \mod 9 \] 5. Encontrando o inverso de 7 módulo 9: - O inverso de 7 módulo 9 é 4, pois \( 7 \cdot 4 \equiv 1 \mod 9 \). - Multiplicando ambos os lados da congruência \( 7k \equiv 8 \mod 9 \) por 4: \[ k \equiv 32 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad k \equiv 5 \mod 9 \] - Portanto, \( k = 9m + 5 \) para algum inteiro \( m \). 6. Substituindo \( k \) de volta: - Substituindo \( k \) na expressão de \( N \): \[ N = 7(9m + 5) + 6 = 63m + 35 + 6 = 63m + 41 \] 7. Considerando que \( N < 50 \): - Para \( m = 0 \): \[ N = 41 \] - Para \( m = 1 \): \[ N = 104 \quad (\text{não é válido, pois } N < 50) \] 8. Verificando as sobras com equipes de 8 alunos: - Agora, vamos verificar quantos alunos sobram se formarmos equipes de 8: \[ 41 \div 8 = 5 \quad \text{(quociente)} \quad \text{e } 41 - 8 \cdot 5 = 41 - 40 = 1 \quad \text{(resto)} \] Portanto, se formarmos equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobra é 1. A alternativa correta é: (a) 1.