Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a (A) –1024. (B) –1024i. (C) 0. (D) 1024. (E) 1024i.

Para resolver a expressão \((1 + i)^{20} - (1 - i)^{20}\), podemos usar a fórmula de De Moivre e a propriedade das potências de números complexos. Primeiro, vamos calcular \((1 + i)^{20}\) e \((1 - i)^{20}\): 1. O módulo de \(1 + i\) é \(\sqrt{2}\) e o argumento é \(\frac{\pi}{4}\). 2. O módulo de \(1 - i\) também é \(\sqrt{2}\) e o argumento é \(-\frac{\pi}{4}\). Usando a fórmula de De Moivre: \[ (1 + i)^{20} = (\sqrt{2})^{20} \left( \cos\left(20 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(20 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 2^{10} \left( \cos(5\pi) + i \sin(5\pi) \right) = 1024(-1 + 0i) = -1024 \] Agora, para \((1 - i)^{20}\): \[ (1 - i)^{20} = (\sqrt{2})^{20} \left( \cos\left(20 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(20 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 2^{10} \left( \cos(-5\pi) + i \sin(-5\pi) \right) = 1024(-1 + 0i) = -1024 \] Agora, substituindo na expressão original: \[ (1 + i)^{20} - (1 - i)^{20} = -1024 - (-1024) = -1024 + 1024 = 0 \] Portanto, a resposta correta é: (C) 0.