Com uma folha quadrada...

Tenho um exercício parecido...

Uma fábrica de caixas sem tampas utiliza 1 folha de papel quadrada de lado 60cm para fabricar cada caixa. O método de fabricação consiste em retirar um pequeno quadrado de cada canto da folha com lado "x" e dobrando as abas. Determine o valor de "x" para que o volume da caixa seja máximo.

a = 60 cm
comprimento = 60-2x (onde "2x" é o pequeno quadrado cortado)
largura = 60-2x (onde "2x" é o pequeno quadrado cortado)

Volume = comprimento X largura X altura
V=(60-2x)*(60-2x)*x
V=(3600-120x-120x+4x²)*x
V=3600x-240x²+4x³

Derivar
V'=3600-(2)*240x+(3)*4x²
V'=3600-480x+12x² >> /(12)
V'=300-40x+x²

Igualar a zero e achar as raízes
x²-40x+300=0
x1=10cm e x2=30

Resposta: 10cm.

Para encontrarmos as dimensões do quadrado, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V=x\left( a\text{ }-2x \right)\left( a\text{ }-2x \right) \\ & ~V=x\left( a{}^\text{2}\text{ }-\text{ }4ax\text{ }+\text{ }4x{}^\text{2} \right) \\ & ~V=4x{}^\text{3}\text{ }-\text{ }4ax{}^\text{2}\text{ }+\text{ }a{}^\text{2}x~ \\ & \\ & x=\frac{8a\pm \sqrt{16{{a}^{2}}}}{24} \\ & x=\frac{8a\pm 4a}{24} \\ & x'=\frac{4a}{24}=\frac{a}{6} \\ & \\ & x''=\frac{12a}{24} \\ & x''=\frac{a}{2} \\ \end{align}\ \)

Portanto, as dimensões do quadrado são \(\begin{align} & x'=\frac{4a}{24}=\frac{a}{6} \\ & x''=\frac{a}{2} \\ \end{align}\ \).