Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 5 pessoas) e duas possibilidades (viver ou não viver). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. - \( n \) é o número total de tentativas (5 pessoas). - \( k \) é o número de sucessos desejados (3 pessoas vivas). - \( p \) é a probabilidade de sucesso (3/5). - \( (1-p) \) é a probabilidade de fracasso (2/5). Vamos calcular: 1. \( n = 5 \) 2. \( k = 3 \) 3. \( p = \frac{3}{5} = 0,6 \) 4. \( 1 - p = \frac{2}{5} = 0,4 \) Calculando o coeficiente binomial \( C(5, 3) \): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^2 \] Calculando: \[ (0,6)^3 = 0,216 \] \[ (0,4)^2 = 0,16 \] Agora, multiplicando tudo: \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,03456 \] \[ P(X = 3) = 0,3456 \] Convertendo para porcentagem: \[ 0,3456 \times 100 = 34,56\% \] Portanto, a probabilidade percentual de exatamente 3 das pessoas estarem vivas daqui a trinta anos é: b) 34,56%