Para encontrar o polinômio interpolador usando a forma de Newton (método das diferenças divididas) para os pontos dados (-1,3), (0,1), (1,3) e (3,43), precisamos calcular as diferenças divididas e montar o polinômio. 1. Pontos: - \( P_0 = (-1, 3) \) - \( P_1 = (0, 1) \) - \( P_2 = (1, 3) \) - \( P_3 = (3, 43) \) 2. Diferenças divididas: - \( f[x_0] = 3 \) - \( f[x_1] = 1 \) - \( f[x_2] = 3 \) - \( f[x_3] = 43 \) Calculando as diferenças: - \( f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1 - 3}{0 - (-1)} = -2 \) - \( f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2 \) - \( f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{43 - 3}{3 - 1} = 20 \) Continuando com as diferenças: - \( f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{2 - (-2)}{1 - (-1)} = 2 \) - \( f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{20 - 2}{3 - 0} = 6 \) E por fim: - \( f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{6 - 2}{3 - (-1)} = 1 \) 3. Montando o polinômio: O polinômio interpolador \( p(x) \) é dado por: \[ p(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \] Substituindo os valores: \[ p(x) = 3 - 2(x + 1) + 2(x + 1)(x) + 1(x + 1)(x)(x - 1) \] Após simplificar, você encontrará que o polinômio interpolador é: \[ p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 \] Portanto, a resposta correta é: p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1.