Vamos analisar a linguagem L = {ai bj ck | i × j = k; i, j, k ≥ 1}. Isso significa que para cada cadeia da forma \( a^i b^j c^k \), o número de 'c's (k) deve ser igual ao produto do número de 'a's (i) pelo número de 'b's (j). Agora, vamos verificar cada item: I - abcc: Aqui temos \( i = 1 \), \( j = 1 \) e \( k = 2 \). O produto \( i \times j = 1 \times 1 = 1 \), que não é igual a 2. Portanto, não é válida. II - aabbcccc: Aqui temos \( i = 2 \), \( j = 2 \) e \( k = 4 \). O produto \( i \times j = 2 \times 2 = 4 \), que é igual a 4. Portanto, é válida. III - aaaa: Aqui temos \( i = 4 \), \( j = 0 \) e \( k = 0 \). Como \( j \) e \( k \) devem ser ≥ 1, não é válida. IV - aaabbcccccc: Aqui temos \( i = 3 \), \( j = 2 \) e \( k = 6 \). O produto \( i \times j = 3 \times 2 = 6 \), que é igual a 6. Portanto, é válida. V - abbccc: Aqui temos \( i = 1 \), \( j = 2 \) e \( k = 3 \). O produto \( i \times j = 1 \times 2 = 2 \), que não é igual a 3. Portanto, não é válida. Agora, vamos resumir as validações: - I: não válida - II: válida - III: não válida - IV: válida - V: não válida As cadeias válidas para L são II e IV. Portanto, a alternativa correta é: A) II e IV.