A reta \(5y-x=2\) pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow 5y=x+2\)

\(\Longrightarrow y={1 \over 5}x+{2 \over 5}\)

Com a equação da reta no formato \(y=ax+b\), o valor da inclinação \(a\) é:

\(\Longrightarrow a={1 \over 5}\)    \((I)\)

Aplicando a derivada implícita na função \(3y^2+2xy-x^2 = 3\), tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow 3{d\over dx}(y^2)+2{d\over dx}(xy)-{d\over dx}(x^2) = {d\over dx}(3)\)

\(\Longrightarrow 3{d\over dy}(y^2){dy \over dx}+2 \Big [ x{d\over dx}(y)+y{d\over dx}(x)\Big ]-{d\over dx}(x^2) = 0\)

\(\Longrightarrow 3\cdot (2y){dy \over dx}+2 \Big [ x{d\over dy}(y){dy \over dx}+y\cdot (1) \Big ]-(2x) = 0\)

\(\Longrightarrow 3y{dy \over dx}+ \Big [ x\cdot 1{dy \over dx}+y \Big ]-x = 0\)

\(\Longrightarrow 3y{dy \over dx}+ x{dy \over dx}+y -x = 0\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}(3y+ x)=x-y\)

Portanto, a inclinação da reta tangente à curva \(3y^2+2xy-x^2 = 3\) no ponto \((x_0,y_0)\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx}={x_0-y_0 \over x_0+3y_0}\)    \((II)\)

Como a reta \(5y-x=2\) possui a mesma inclinação da reta tangente à curva \(3y^2+2xy-x^2 = 3\), as equações \((I)\) e \((II)\) correspondem à mesma coisa. Portanto, tem-se a seguinte relação:

\(\Longrightarrow a={dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 5}={x_0-y_0 \over x_0+3y_0}\)

\(\Longrightarrow x_0+3y_0=5(x_0-y_0)\)

\(\Longrightarrow x_0+3y_0=5x_0-5y_0\)

\(\Longrightarrow 5y_0+3y_0 = 5x_0-x_0\)

\(\Longrightarrow 8y_0 = 4x_0\)

\(\Longrightarrow y_0 = {1 \over 2}x_0\)    \((III)\)

Portanto, a equação da reta tangente no ponto \((x_0,y_0)=(x_0,{1 \over 2 }x_0)\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan}=ax+b\)

\(\Longrightarrow y_{tan}={1 \over 5}x+b\)

Substituindo o ponto \((x_0,{1 \over 2 }x_0)\) na equação de \(y_{tan}\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow {1 \over 2} x_0={1 \over 5}x_0+b\)

\(\Longrightarrow b={1 \over 2} x_0-{1 \over 5}x_0\)

\(\Longrightarrow b={3 \over 10} x_0\)

Portanto, a equação de \(y_{tan}\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y_{tan}={1 \over 5}x+{3 \over 10}x_0\)     \((IV)\)

Como a curva \(3y^2+2xy-x^2 = 3\) e a reta tangente se cruzam no ponto \((x_0,y_0)=(x_0,{1 \over 2 }x_0)\), o valor de \(x_0\) é:

\(\Longrightarrow 3y_0^2+2x_0 \cdot y_0-x_0^2 = 3\)

\(\Longrightarrow 3 \cdot ({1 \over 2}x_0)^2+2x_0 \cdot ({1 \over 2}x_0)-x_0^2 = 3\)

\(\Longrightarrow 3\cdot {1 \over 4}x_0^2+x_0^2-x_0^2 = 3\)

\(\Longrightarrow {3 \over 4}x_0^2 = 3\)

\(\Longrightarrow x_0^2 = 4\)

\(\Longrightarrow x_0= \pm 2\)

O valor \(x_0=-2\) implica em \(f(x)<0\), o que contraria o enunciado. Portanto, o valor de \(x_0\) adotado será de:

\(\Longrightarrow x_0= 2\)

Finalmente, pela equação \((IV)\) e \( x_0= + 2\), a equação completa da reta tangente é:

\(\Longrightarrow y_{tan}={1 \over 5}x+{3 \over 10}x_0\)

\(\Longrightarrow y_{tan}={1 \over 5}x+{3 \over 10}\cdot 2\)

\(\Longrightarrow y_{tan}={1 \over 5}x+{3 \over 5}\)

\(\Longrightarrow 5y_{tan}=x+3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ 5y_{tan}-x=3 $}\)