Exercício de Cálculo I

Note que para todo número real a, podemos tomar c tal que:

\(a=\frac{-\cos(1/c)}{c^2}\)

Pois,  temos que:

\(f'(x)=\frac{-1}{x^2}\cos(\frac{1}{x})\)

Logo,

\(f'(c)=\frac{-1}{c^2}\cos(\frac{1}{c})\)

Se você ainda não aprendeu o conceito de diferenciais, basta pensar que o gráfico é contínuo em todos os pontos exceto x = 0, onde é indefinido. Portanto, sempre haverá uma reta do tipo y = ax + b que tangenciará qualquer ponto, digamos (f(c),c).

Imagine uma reta tangente percorrendo o gráfico, como no gif abaixo:

Se você está mais avançado no curso, basta derivar a função f(x) usando a regra da cadeia:      f'(x) = sen'(1/x) * (1/x)' = -cos(1/x)/x^2

Veja que para qualquer ponto c>0 de f(x), há uma reta tangente àquele ponto do tipo y = f'(c)x + b. Se c=0, estaremos dividindo por zero, o que não é possível. 

Assim, para todo f(c) existe um f'(c).

Espero ter ajudado.