Lim 6x^2+11x+3/2x^2-5x-12? x->-3/2

1. Substituir o valor a que x tende: x=-3/2:  indeterminação do tipo 0/0
2. Fatorar a expressão (soma e produto ou baskara): 6x^2+11x+3 = (2x+3)(3x+1) e 2x^2-5x-12 = (x-4)(2x+3) 
3. Procurar fatores em comum (simplificar): 2x+3
4. Substituir o valor a que x tende na nova expressão: x=-3/2: Lim=7/11

Lim 6x^2+11x+3/2x^2-5x-12 = Lim (2x+3)(3x+1)/(2x+3)(x-4) = Lim 3x+1/x-4 = 3.(-3/2)+1/(-3/2)-4 = (-9/2)+1/(-11/2) = (-7/2)/(-11/2) = 7/11

Na fatoração usei soma e produto

Primeiro, vamos substituir x por -3/2 e ver o que acontece. Observe que no numerador teremos:

6*(-3/2)² + 11*(-3/2) + 3 = 6*9/4 - 33/2 + 3 = 54/4 - 33/2 + 6/2 = 27/2 - 27/2 = 0

E no denominador, teremos:

2*(-3/2)² - 5*(-3/2) - 12 = 2*9/4 + 15/2 - 12 = 9/2 + 15/2 - 24/2 = 0

Isso quer dizer que -3/2 é raiz tanto da equação que está no numerador, quanto a que está no denominador, ou seja, podemos escrever ambas da forma (ax + b)(x + 3/2), e só precisamos encontrar o a e o b em cada equação, para isso, vamos fazer a multiplicação acima e igualar a cada equação para descobri-los, começando pela que está no numerador

ax² + 3ax/2 + bx + 3b/2 = 6x² + 11x + 3

6x² = ax² => a = 6

3b/2 = 3 => b = 2

Assim, 6x² + 11x + 3 = (6x + 2)(x + 3/2)

Já no denominador:

ax² + 3ax/2 + bx + 3b/2 = 2x² - 5x - 12 

a = 2

b = -8

Assim, 

2x² - 5x - 12 = (2x - 8)(x + 3/2)

Agora, vamos reescrever o limite que devemos calcular da seguinte forma:

lim (6x² + 11x + 3)/(2x² - 5x - 12) com x->-3/2 = lim (6x + 2)(x + 3/2)/((2x - 8)(x + 3/2)) com x->-3/2

= lim (6x + 2)/(2x - 8) com x-> -3/2 = (6*(-3/2) + 2)/(2*(-3/2) - 8) = (-9 + 2)/(-3 - 8) = 7/11

Olá! Vamos responder este limite! O limite a ser calculado é:

Primeira tentativa: aplicar o ponto -3/2 na função:

Observe que encontramos uma fração do tipo 0/0, sendo esta uma indeterminação matemática. Neste caso, aplicaremos a regra de L'Hopital: derivamos o numerador e o denominador, e então aplicamos novamente o mesmo ponto para encontrar o valor do limite. Desta maneira, o valor deste novo limite é igual ao valor do limite procurado! Vamos lá então!

E esta é a resposta deste limite!

Bons estudos!