Para resolver essa questão, vamos usar o fato de que, se 2 e 5 são raízes da equação cúbica \(x^{3}+m x^{2}+31 x+n=0\), podemos expressar a equação na forma fatorada: \[ (x - 2)(x - 5)(x - r) = 0 \] onde \(r\) é a terceira raiz que precisamos encontrar. Expandindo os dois primeiros fatores: \[ (x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10 \] Agora, multiplicamos isso pelo terceiro fator \((x - r)\): \[ (x^2 - 7x + 10)(x - r) = x^3 - rx^2 - 7x^2 + 7rx + 10x - 10r \] Isso resulta em: \[ x^3 + (-r - 7)x^2 + (7r + 10)x - 10r \] Comparando com a equação original \(x^{3}+m x^{2}+31 x+n=0\), temos: 1. \(m = -r - 7\) 2. \(31 = 7r + 10\) 3. \(n = -10r\) Agora, vamos resolver a equação \(31 = 7r + 10\): \[ 31 - 10 = 7r \implies 21 = 7r \implies r = 3 \] Substituindo \(r = 3\) nas expressões para \(m\) e \(n\): 1. \(m = -3 - 7 = -10\) 2. \(n = -10 \cdot 3 = -30\) Agora, precisamos encontrar a razão entre \(m\) e \(n\): \[ \frac{m}{n} = \frac{-10}{-30} = \frac{1}{3} \] Portanto, a alternativa correta é: D) \(\frac{1}{3}\)