Para resolver essa questão, precisamos entender o conceito de média proporcional e como ela se aplica aos segmentos mencionados. A média proporcional \( BD \) entre os segmentos \( AB \) e \( BC \) é dada pela relação: \[ \frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC} \] Isso pode ser reescrito como: \[ (BD)^2 = AB \cdot BC \] Agora, vamos analisar as alternativas: (A) \( AB \cdot BD = BC \cdot AO \) - Não é a relação correta para média proporcional. (B) \( AB \cdot BD = BC \cdot DO \) - Também não é a relação correta. (C) \( BD \cdot DO = AB \cdot BC \) - Não representa a média proporcional. (D) \( BD \cdot BC = (AO)^2 \) - Não é a relação correta. (E) \( (BD)^2 = AB \cdot BC \) - Esta é a relação correta para a média proporcional. Portanto, a alternativa correta é: (E) (BD)² = AB . BC.