Prob. 3 (4 pontos). Suponha que uma moeda honesta é lançada duas vezes e que cada resultado no espaço amostral abaixo é igualmente provável de ocorrer: Ω = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}, e portanto tem probabilidade 1/4. Considere os eventos: E1 = {(H, H), (H, T)} e E2 = {(H, H), (T, H)}. Usando o princípio da inclusão-exclusão, calcule P(E1 ∪ E2).

Question

Prob. 3 (4 pontos). Suponha que uma moeda honesta é lançada duas vezes e que cada resultado no espaço amostral abaixo é igualmente provável de ocor...

Ed · Answer

Para calcular a probabilidade do evento $ P(E1 \cup E2) $ usando o princípio da inclusão-exclusão, precisamos primeiro identificar os eventos e suas interseções.

Os eventos são:
- $ E1 = \{(H, H), (H, T)\} $
- $ E2 = \{(H, H), (T, H)\} $

Agora, vamos calcular a interseção $ E1 \cap E2 $:
- $ E1 \cap E2 = \{(H, H)\} $

Agora, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão:
$$
P(E1 \cup E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 \cap E2)
$$

Calculando as probabilidades:
- $ P(E1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ (pois há 2 resultados em $ E1 $)
- $ P(E2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ (pois há 2 resultados em $ E2 $)
- $ P(E1 \cap E2) = \frac{1}{4} $ (pois há 1 resultado na interseção)

Substituindo na fórmula:
$$
P(E1 \cup E2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}
$$
$$
P(E1 \cup E2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$

Portanto, a probabilidade $ P(E1 \cup E2) $ é $ \frac{3}{4} $.

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Prob. 2 (3 pontos). Os conjuntos A, B e C têm as seguintes propriedades: |A| = 63, |B| = 91, |C| = 44, |A ∩ B| = 25, |A ∩ C| = 23, |B ∩ C| = 21, |A ∪ B ∪ C| = 139. Usando o princípio da inclusão-exclusão, determine o valor de |A ∩ B ∩ C|.

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