A interpolação polinomial pode ser aplicada na identificação de estimativas para valores entre pontos conhecidos de um conjunto de dados.
Em uma experiência num túnel de vento, a força sobre um projétil devido à resistência do ar foi medida para velocidades diferentes, conforme Tabela 1:
Velocidade (m/s) 0 2 4 6
Força (N) 0.0 2.9 14.8 39.6
Tabela 1. Fonte: elaborada pela autora.
Deseja-se determinar uma estimativa para a força do projétil quando o ele está se deslocando a uma velocidade de 3 m/s.
Assinale a alternativa que apresenta a estimativa para a força, considerando uma velocidade de 3 m/s, obtida por meio da interpolação polinomial pela forma de Lagrange com um polinômio interpolador de 3º grau.
7.49
8.44
10.36
12.85
13.93

Question

A interpolação polinomial pode ser aplicada na identificação de estimativas para valores entre pontos conhecidos de um conjunto de dados. Em uma ex...

Ed · Answer

Para resolver a questão da interpolação polinomial usando a forma de Lagrange, precisamos calcular o polinômio interpolador de 3º grau com os pontos dados. Os pontos são:

- (0, 0.0)
- (2, 2.9)
- (4, 14.8)
- (6, 39.6)

A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:

$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) $$

onde $ L_i(x) $ é dado por:

$$ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

Vamos calcular $ P(3) $:

1. Para $ i = 0 $ (ponto (0, 0.0)):
   $$
   L_0(3) = \frac{(3-2)(3-4)(3-6)}{(0-2)(0-4)(0-6)} = \frac{(1)(-1)(-3)}{(-2)(-4)(-6)} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}
   $$
   Contribuição: $ 0.0 \cdot \frac{1}{16} = 0.0 $

2. Para $ i = 1 $ (ponto (2, 2.9)):
   $$
   L_1(3) = \frac{(3-0)(3-4)(3-6)}{(2-0)(2-4)(2-6)} = \frac{(3)(-1)(-3)}{(2)(-2)(-4)} = \frac{9}{16} = \frac{9}{16}
   $$
   Contribuição: $ 2.9 \cdot \frac{9}{16} = 1.63125 $

3. Para $ i = 2 $ (ponto (4, 14.8)):
   $$
   L_2(3) = \frac{(3-0)(3-2)(3-6)}{(4-0)(4-2)(4-6)} = \frac{(3)(1)(-3)}{(4)(2)(-2)} = \frac{-9}{-16} = \frac{9}{16}
   $$
   Contribuição: $ 14.8 \cdot \frac{9}{16} = 8.325 $

4. Para $ i = 3 $ (ponto (6, 39.6)):
   $$
   L_3(3) = \frac{(3-0)(3-2)(3-4)}{(6-0)(6-2)(6-4)} = \frac{(3)(1)(-1)}{(6)(4)(2)} = \frac{-3}{48} = -\frac{1}{16}
   $$
   Contribuição: $ 39.6 \cdot -\frac{1}{16} = -2.475 $

Agora, somamos todas as contribuições:

$$
P(3) = 0.0 + 1.63125 + 8.325 - 2.475 = 7.48125
$$

A estimativa para a força do projétil a uma velocidade de 3 m/s é aproximadamente **7.49 N**.

Portanto, a alternativa correta é **7.49**.

Matemática

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