Dados os pontos A(4, 0, -1) e B(2, -2, 1) e os vetores u=(2, 1, 1) e v=(-1, -2, 3), o vetor x tal que 3x + 2x= x + (AB . u) v é:

Para resolver a equação dada, vamos primeiro simplificar a expressão. A equação é: \[ 3x + 2x = x + (AB \cdot u) v \] 1. Simplificando o lado esquerdo: \[ 3x + 2x = 5x \] 2. Agora, vamos calcular o vetor \( AB \): O vetor \( AB \) é dado por: \[ AB = B - A = (2, -2, 1) - (4, 0, -1) = (2 - 4, -2 - 0, 1 + 1) = (-2, -2, 2) \] 3. Calculando o produto escalar \( AB \cdot u \): \[ AB \cdot u = (-2, -2, 2) \cdot (2, 1, 1) = (-2 \cdot 2) + (-2 \cdot 1) + (2 \cdot 1) = -4 - 2 + 2 = -4 \] 4. Substituindo na equação: Agora, substituímos \( AB \cdot u \) na equação: \[ 5x = x + (-4)v \] \[ 5x = x - 4(-1, -2, 3) \] \[ 5x = x + (4, 8, -12) \] 5. Isolando \( x \): \[ 5x - x = (4, 8, -12) \] \[ 4x = (4, 8, -12) \] \[ x = (1, 2, -3) \] Portanto, o vetor \( x \) é \( (1, 2, -3) \).