Para resolver a questão, vamos aplicar a equação de Euler, que é dada por: \[ e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sen(x) \] Dado que \( x = \frac{\pi}{4} \) radianos, precisamos calcular \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) e \( \sen\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Sabemos que: - \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sen\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Substituindo esses valores na equação de Euler, temos: \[ e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Incorreto, pois o seno não é \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). b) \( e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Incorreto, pois os valores não correspondem. c) \( e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \) - Incorreto, pois os valores não correspondem. d) \( e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) - Correto, pois corresponde aos valores de seno e cosseno. e) Não há uma alternativa apresentada. Portanto, a alternativa correta é: d) \( e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).