Vamos analisar cada afirmativa: I - O vetor gradiente é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a entender como uma função varia em diferentes direções. Verdadeiro, o vetor gradiente indica a direção e a taxa de variação mais rápida de uma função em várias variáveis. II - A equação do plano é essencial para descrever superfícies planas no espaço tridimensional. Verdadeiro, a equação do plano é fundamental para representar superfícies planas em um espaço tridimensional. III - A equação tangente ao plano é crucial para aproximar superfícies curvas por planos, facilitando a análise e a resolução de problemas complexos. Verdadeiro, a equação do plano tangente é usada para aproximar superfícies curvas em um ponto específico, permitindo simplificações em problemas complexos. Agora, considerando que todas as afirmativas I, II e III estão corretas, a alternativa correta é: "Apenas I, II e III estão corretas."