Para resolver essa questão, precisamos entender a expressão dada e como ela se relaciona com a potência de 2. A expressão \( k = (9999...9942 - 9999...994) \times 3 \) envolve números que têm 2015 algarismos, onde o primeiro número termina em 42 e o segundo termina em 94. Vamos simplificar a expressão: 1. O número \( 9999...9942 \) pode ser escrito como \( 10^{2015} - 58 \) (já que 9999...9942 é 10^2015 - 58). 2. O número \( 9999...994 \) pode ser escrito como \( 10^{2015} - 6 \) (já que 9999...994 é 10^2015 - 6). Portanto, temos: \[ k = ((10^{2015} - 58) - (10^{2015} - 6)) \times 3 \] \[ k = (-58 + 6) \times 3 \] \[ k = -52 \times 3 = -156 \] Agora, precisamos encontrar a maior potência de 2 que pode ser o índice \( i \) tal que \( \sqrt{k^i} \) seja um número racional. Para que isso ocorra, \( k^i \) deve ser um quadrado perfeito. O número -156 pode ser fatorado como: \[ -156 = -1 \times 2^2 \times 3 \times 13 \] Para que \( k^i \) seja um quadrado perfeito, todos os fatores devem ter expoentes pares. O fator \( -1 \) não influencia a paridade, mas o fator \( 2^2 \) já é par. Os fatores \( 3 \) e \( 13 \) têm expoentes ímpares. Para que \( k^i \) seja um quadrado perfeito, \( i \) deve ser tal que os fatores \( 3 \) e \( 13 \) se tornem pares. Isso significa que \( i \) deve ser pelo menos 2, pois precisamos de \( 3^2 \) e \( 13^2 \). Assim, a maior potência de 2 que \( i \) pode assumir, considerando que \( i \) deve ser par, é 2. Portanto, a resposta correta é: e) 2.