Considere x um arco do 3º quadrante e cotangente de x igual a ctg x. Se sen x = −√2/2, então o valor de A = tg x + 2 ctg2x é a) √3 b) √2 c) 2 d) 3

Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Identificar o valor de \( \sin x \): Dado que \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( x \) está no 3º quadrante, podemos determinar que \( \cos x \) será negativo. Usando a relação \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{2}{4} + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{1}{2} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad (\text{no 3º quadrante}) \] 2. Calcular \( \tan x \) e \( \cot x \): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \] \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} = 1 \] 3. Calcular \( \cot^2 x \): \[ \cot^2 x = 1^2 = 1 \] 4. Calcular \( A = \tan x + 2 \cot^2 x \): \[ A = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 \] Portanto, o valor de \( A \) é 3. A alternativa correta é: d) 3.