Seja p ∈ Z+ um número primo. Mostre que {ap + 1, ap + 2, . . . , ap + (p− 1)} é um sistema reduzido de resíduos módulo p para todo a ∈ Z.

Para mostrar que o conjunto \(\{ap + 1, ap + 2, \ldots, ap + (p - 1)\}\) é um sistema reduzido de resíduos módulo \(p\), precisamos provar que todos os elementos desse conjunto são diferentes entre si quando considerados módulo \(p\). 1. Definição de sistema reduzido de resíduos: Um conjunto de inteiros é um sistema reduzido de resíduos módulo \(p\) se contém exatamente um representante de cada classe de equivalência módulo \(p\). 2. Elementos do conjunto: Os elementos do conjunto são \(ap + 1, ap + 2, \ldots, ap + (p - 1)\). 3. Cálculo dos resíduos: Vamos calcular os resíduos desses elementos módulo \(p\): - \(ap + k \equiv k \mod p\) para \(k = 1, 2, \ldots, p - 1\). 4. Resíduos distintos: Os resíduos \(1, 2, \ldots, p - 1\) são todos diferentes entre si, pois se \(k_1 \equiv k_2 \mod p\) para \(1 \leq k_1, k_2 < p\), então \(k_1 = k_2\). 5. Conclusão: Portanto, os elementos \(ap + 1, ap + 2, \ldots, ap + (p - 1)\) são todos diferentes módulo \(p\) e representam todas as classes de resíduos não nulas módulo \(p\). Assim, o conjunto é um sistema reduzido de resíduos módulo \(p\). Portanto, a afirmação está provada.